Überschneidungswahrscheinlichkeit bestimmen

25.11.2009, 08:24

Peter321

Überschneidungswahrscheinlichkeit bestimmen

Hallo,
ich habe eine Entladesystem hinsichtlich zweier Vorgänge analyisert: die eine Kurve stellt die Fahrtdauer dar, die andere die Ent- und Beladedauer. Nun möchte ich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Entladesystem von einer Fahrt zurückkehrt, aber ein anderes Entladesystem noch nicht Ent- und Beladen wurde so dass das Entladesystem das von seiner Fahrt wiederkommt warten muss. Sprich ich möchte den Überschneidungsbereich der beiden dargestellten Kurven errechnen.
Die eine Verteilung ist eine Normalverteilung (keine Standartnormalverteilung!) und die andere eine Weibullverteilung.
Wie muss ich vorgehen um die Überschneidungs- (in meinem Fall Warte-) Wahrschenilichkeit zu berechnen?

Die Parameter der Verteilungen könnte ich nachreichen.

Vielen Dank, und viele Grüße,
Peter

25.11.2009, 08:40

peter123

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...irgendwie ist das Bild nicht mit in meinem Beitrag erschienen, obwohl ich es hochgeladen habe.

Hier mal die Paramter meiner beiden Verteilungen:

Fahrtverteilung: Weibullverteilung mit: EX= 499,25 , SX= 56,194, SX^2= 3157,79, VX= 0,1126

Ent- und Beladeverteilung: Normalverteilung mit: EX= 387,43 SX=78,35
VX= 0,2022

25.11.2009, 10:17

Lord Pünktchen

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Wie lange ein ankommendes Ladesystem warten muss, oder ob es dies tun muss, hängt unter anderem auch von der Anzahl der Ladesysteme zusammen.

Gehen wir einfachheitshalber mal nur von 2en aus, dann willst du die Wahrscheinlichkeit wissen,
dass Fahrzeug 2 von der Entladestation wegfährt während Fahrzeug 1 von der Beladestation wegfährt und Fahrzeug 2 dann warten muss.

Richtig?

Wenn ja, dann könntest du wie folgt vorhegen:

Sei $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} N(µ, \sigma^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} Weibul \end{eqnarray*}$

wobei i für die Fahrzeugnummer steht.

Dann ist also nach $\begin{eqnarray*} P((X_1\geq X_2 + Y_2) \cup (X_2\geq X_1 + Y_1)) \end{eqnarray*}$ gefragt.

Sollte dies nicht deine Frage beantworten, dann solltest du diese villeicht etwas genauer ausformulieren.

25.11.2009, 10:27

peter123

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Ok, ich erkläre es näher:

Also, es handelt sich lediglich um zwei Systeme, richtig.

Es gibt lediglich einen "Parkplatz" für eine System. Und ich möchte jetzt die Wahrscheinlichkeit errechnen, dass System 1 noch nicht fertig Ent- und Beladen ist während Sytsem 2 gerade von einer Fahrt zurückkehrt und selber Ent- und Beladen werden möchte, sprich warten muss bis System 1 abgefertigt wurde.

Also, die Wahrscheinlichkeit, dass Ent- und Beladedauer > Fahrtdauer ist.

Könntest du deine Antwort etwas einfacher formulieren, ich möchte das ganze dann in Excel unterbringen smile

danke schon mal!

25.11.2009, 12:31

Lord Pünktchen

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Also Sei X die Normalverteilte Zufallsvariable, die angibt, wie lange das Be- und Entladen dauert
und Y die Weibullverteilte Zufallsvariable, die angibt, wie lange die Fahrt dauert.

Du bist an $\begin{eqnarray*} P(X \geq Y) \end{eqnarray*}$ interessiert. Also der Wahrscheinlichkeit, dass das Be- und Entladen länger dauert als der Fahrtweg und damit das zweite System warten muss.

Es gibt zwei Lösungsansätze:

1) Du berechnest das Faltungsprodukt von Y und -X und berechnest dann die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(Y-X \leq 0) \end{eqnarray*}$

2)Du wählst den direkten Weg und verwendest, dass $\begin{eqnarray*} P(X \geq Y) = E(1_{(X \geq Y)}) \end{eqnarray*}$ , wobei P natürlich die Produktwahrscheinlichkeit ist (genauso wie das P oben).
Dabei verwendest du dann Fubini, um den Erwartungswert in zwei Integrale aufzuspalten und erhälst:
$\begin{eqnarray*} P(X \geq Y) = \int(P_Y(Y \leq X)) dP_X \end{eqnarray*}$

25.11.2009, 14:56

peter123

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Was ich aus deiner Antwort aber rauslesen:
- Es scheint nicht einfach auszureichen den Flächeninhalt des durch die beiden Kurven eingeschlossenen Bereichs zu berechnen. Wenn ich mich da recht entsinne liegt das an dem Gesetz der Wahrscheinlichkeit das die Wahrscheinlichkeit jeder Einzelgröße miteinander multipliziert werden muss um auf die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu kommen, richtig?

Ok, auch wenn das vielleicht etwas aufwändig ist, aber könnte mir mal jemand anschaulich dieses Beispiel mit meinen Werten durchrechnen? Bei Faltung etc... bin ich bei Mathe damals ausgestiegen, aber ich würde es gerne anhand dieses Beispiels nachvollziehen können. Die reinen Gesetzmäßigkeiten helfen mir beim Verständnis nicht so ganz....

25.11.2009, 15:40

Lord Pünktchen

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Ich hab eine viel bessere Idee. Ich geb dir alle nötigen Informationen, s.d. Du nurnoch das ganze berechnen musst.

1) Für eine Weibullverteilte ZVe Y gilt:

$\begin{eqnarray*} P_Y(Y \leq k) = 1 - e^{-\alpha \cdot k^{\beta}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \alpha^{-\frac {1} {\beta}} \cdot \Gamma (\frac{1} {\beta} + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} VAR(Y) = \alpha^{-\frac{2} {\beta}} \cdot ( \Gamma(\frac{2} {\beta} + 1) - \Gamma(\frac {1} {\beta} + 1)^2 ) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma(x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} dt \approx \sqrt{2\pi} \cdot x^{x-0,5}e^{-x} \end{eqnarray*}$

Damit solltest du in der Lage sein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

2) Für die Formel gilt somit:

$\begin{eqnarray*} \int P_Y(Y \leq X) dP_X = \int 1 - e^{-\alpha \cdot X^{\beta}} ~ dP_X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{\infty} (1 - e^{-\alpha \cdot x^{\beta}}) \cdot \frac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} exp(-\frac{1} {2} (\frac {x - \mu} {\sigma})^2) ~ dx \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Standartabweichung und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert deiner Normalverteilung sind.

P.S. Dies ist der direkte Weg.

25.11.2009, 17:58

peter123

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Ok, das hilft mir schon mal.
Die Parameter meiner Weibullverteilung kann ich doch auch über die Näherung nach Gumble bestimmen, oder meinst du das wird dann zu ungenau und ich sollte es über das Umstellen der Erwartungswertgleichung tun?

25.11.2009, 21:26

Lord Pünktchen

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Ich hab keine Ahnung ob dieses Verfahren vernünftige Werte ausspuckt.

Was du trivialerweise machen kannst, ist die Werte mittels Gumble-Verfahren zu berechnen und dann deine obige Weibull-Verteilung mit der Weibull-Verteilung, welche auf den erechneten Parametern basiert, zu vergleichen.

Dann kannst du selbst schauen, ob der Fehler zu groß ist oder nicht.

26.11.2009, 08:26

peter123

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Wo, wir gerade dabei sind... ich habe mir die Werte der Fahrtverteilung aus mehreren Verteilunegn als Weibullverteilung "zusammengebastelt". Wollte nochmal eure Meinung dazu hören und quasi einen Schritt zurück gehen, dazu mache ich aber einen neuen Thread auf. Link stelle ich dann gleich hier ein.

26.11.2009, 09:21

peter123

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hier nochmal der Link zu dem Thema: Thread Gesamtverteilung

28.11.2009, 10:07

peter123

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Zitat:

Original von Lord Pünktchen
Ich hab eine viel bessere Idee. Ich geb dir alle nötigen Informationen, s.d. Du nurnoch das ganze berechnen musst.

1) Für eine Weibullverteilte ZVe Y gilt:

$\begin{eqnarray*} P_Y(Y \leq k) = 1 - e^{-\alpha \cdot k^{\beta}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \alpha^{-\frac {1} {\beta}} \cdot \Gamma (\frac{1} {\beta} + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} VAR(Y) = \alpha^{-\frac{2} {\beta}} \cdot ( \Gamma(\frac{2} {\beta} + 1) - \Gamma(\frac {1} {\beta} + 1)^2 ) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma(x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} dt \approx \sqrt{2\pi} \cdot x^{x-0,5}e^{-x} \end{eqnarray*}$

Damit solltest du in der Lage sein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

2) Für die Formel gilt somit:

$\begin{eqnarray*} \int P_Y(Y \leq X) dP_X = \int 1 - e^{-\alpha \cdot X^{\beta}} ~ dP_X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{\infty} (1 - e^{-\alpha \cdot x^{\beta}}) \cdot \frac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} exp(-\frac{1} {2} (\frac {x - \mu} {\sigma})^2) ~ dx \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Standartabweichung und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert deiner Normalverteilung sind.

P.S. Dies ist der direkte Weg.

Nochmal eine Frage dazu- Das ist ja ein recht kompliziertes Integral. ICh kenne nun auch alle unbekannten, außer eben das x. Ich schaffe es aber nciht das Ding zu Integrieren. Kann mir da mal jemand unter die Arme greifen bitte?

07.12.2009, 16:39

peter123

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Hallo,
Habe jetzt mal das oben angegebene Integral versucht mit mathematica zu lösen. Kommt nur quatsch raus, er vereinfacht es nur. Was mache ich falsch?!

habe mal ein Bild angefügt.

07.12.2009, 17:12

peter123

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habe es jetzt geschafft, aber:

...mathematica sagt es kommt genau 1,0 raus.

Wenn ich das Problem "in der Praxis" mittels Simulation löse müsste eigentlich 0,15 rauskommen. Ist vielleicht die Formel falsch?

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