Vektorraum; Polynome

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bl1nky Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum; Polynome
Hi, komme bei meinem Übungsblatt bei folgender Aufgabe gar nicht weiter:

Sei P = {p : R ->R ; p(x) = ax^2 +bx+c mit a; b; c Element von R} die Menge der Polynome vom Grad <= (größergleich) 2.




1)Zeigen Sie, dass (P;+; *) mit punktweiser Addition p + q : x ->p(x) + q(x) und skalarer
Multiplikation ß* p : x -> ß*p(x) einen Vektorraum bildet.

2)Sei L : P-> P die Abbildung, die jedem Polynom p die Ableitung pœ zuordnet. (Zur Erinnerung:
Für p(x) = ax^2 + bx + c ist pœ(x) = 2ax + b.) Zeigen Sie, dass L linear ist.

3)Bestimmen Sie die Menge {p Element von P |L(p) = 0}, den sog. Kern von L. (Man beachte: Hier
ist mit 0 natürlich das konstante 0-Polynom gemeint, das alle x Element von R auf den Wert Null abbildet.)


Wie würdet ihr hier vorgehen, weiß absolut nicht wie ich die Aufgaben lösen soll.

Vielen Dank schonmal!!
Mfg
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Posting ist praktisch nicht zu lesen. Bitte verwende keine Sonderzeichen; noch besser wäre, wenn du den boardeigenen Formeleditor (Latex) verwendest.

Da ich die (1) noch entziffern konnte:
Wenn du voraussetzen darfst, dass einen Vektorraum bildet, dann genügt es zu zeigen, dass die Menge einen Unterraum bildet.
Dies kann man zeigen, indem man zeigt, dass Addition und Multiplikation wieder Ergebnisse in P liefern, also in P abgeschlossen sind. So erparst du dir den mühsamen Weg über alle Axiome zu gehen.

Edit: Natürlich nur, wenn ihr den Satz auch hattet - aber davon gehe ich aus.

air
bl1nky Auf diesen Beitrag antworten »

Hoffe man kann nun alles entziffern smile
@air
Könntest du das was genauer erläutern bzw. beschreiben, weiß leider immer noch nicht wie ich nun die 1 lösen soll =/
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es nichts weiter zu erklären Augenzwinkern

Zwei Dinge musst du haben (und danach frage ich dich!):
1. Darfst du voraussetzen, dass die Menge aller Polynome über IR einen Vektorraum bilden?
2. Hattet ihr den o.g. Satz?

Wenn dem so ist, dann wende den Satz einfach an.
Zeige also, dass die Addition zweier Polynome aus P wieder ein Polynom in P liefert - und, dass die Multiplikation eines Polynoms in P mit einem Skalar aus IR wieder ein Polynom in P liefert.

Das sind zwei Kriterien, die dir sichern, dass P einen Unterraum bildet.

air
bl1nky Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also:
p: ax^2+bx+c
sagen wir q: 3ax^2+2bx+c
p+q=4ax^2+3bx+2c -> wieder ein Polynom 2. Grades

Ist es so der richtige Weg?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst das für alle Polynome in P begründen, nicht einfach für Beispiele. Beispiele beweisen garnichts, die können nur etwas widerlegen.

Vom reinen Gedanken her gehts jedoch in die richtige Richtung. Wähle q einfach auch allgemein (natürlich andere Namen für die Koeffizienten!) und zeige, dass es wieder ein Polynom in P ist.

air
 
 
bl1nky Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du dann vielleicht so nett sein und mir sagen wie ich es richtig aufschreibe?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich doch, du musst schon das lesen und machen, was ich sage!

Wähle nicht nur p, sondern auch q allgemein.

air
bl1nky Auf diesen Beitrag antworten »

p(x):ax^2+bx+c
q(x):jx^2+kx+l
p(x)+q(x)= ajx^2+bkx+cl -> Polynom in P

So richtig ?^^

EDIT: Gz zum 3000. Post Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »






Konzentrieren, Addieren lernt man in Klasse 1 und Ausklammern irgendwo in Klasse 5 oder so - das sollte jetzt nicht schiefgehen dürfen! Augenzwinkern

air
P.S.: Danke, war mir garnicht bewusst. Big Laugh
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