Flächenberechnung von Logarithmusfunktion

07.10.2006, 11:21

eierwurm

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Flächenberechnung von Logarithmusfunktion

Hallo.

Ich soll die Fläche berechnen, die von der Funktion f mit f(x) = x(2-lnx), der x-Achse und der geraden x=1 eingeschlossen wird.

Wenn ich das rechne, bekomme ich einen negativen Flächeninhalt raus...
Meine Stammfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{5}{4} x^{2}- \frac{1}{2} x^{2}*lnx \end{eqnarray*}$

Dann hab ich:
$\begin{eqnarray*} A = [\frac{5}{4} x^{2}- \frac{1}{2} x^{2}*lnx] \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Intervall I[0/1] einsetze, komme ich auf A = -0,109...

Das kann doch aber nicht stimmen ...

mfg
eierwurm

07.10.2006, 11:24

pseudo-nym

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Das Vorzeichen vor dem Flächeninhalt bedeutet einfach nur ob die fläche unter oder über der x-Achse liegt. Wenn du um die Grenzfunktionen Betragstriche setzt und ausrechnest sollte das gleiche in Postiv rauskommen

07.10.2006, 11:25

Lazarus

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Um die Fläche zu berechnen nimmt man immer den Betrag, also ist egal ob das Ergebniss negativ oder positiv ist.

Allerdings hab ich das ergebniss nicht überprüft, kann das mal schnell jemand machen ?

07.10.2006, 11:36

pseudo-nym

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Füchte das stimmt nicht. Zumindest sagt der große Integrator was von einer anderen Stammfunktion.

Außerdem wenn wir die Fläche zwischen $\begin{eqnarray*} f(x)=x(2-lnx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ suchen, ist da mehr als nur integrieren zu tun.

07.10.2006, 12:28

Lazarus

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Die Geradengleichung lautet x=1 und nicht f(x)=1.

Also ist das bestimmte Integral von f von 0 (die Nullstelle von f) bis 1.

Die Stammfunktion ist in der Tat falsch, und somit auch die Lösung.
Die Fläche ist übrigends positiv, also ist das Problem mit dem Betrag garnicht gegeben.

07.10.2006, 12:43

eierwurm

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In der vorherigen Aufgabe soll ich aber zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{5}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} *lnx \end{eqnarray*}$
eine Stammfunktion der Funktion f ist.

Wenn ich F(x) ableite, dann komme ich auch auf f(x) und deshalb dachte ich mir, dass ich die gleich nehmen kann...

eierwurm

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07.10.2006, 12:45

Lazarus

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Ja, du hast recht.
Keine ahnung was ich grad gerechnet hab.

Wieso bekommst du dann so ein komisches Ergebniss raus ?
Was hast du denn eingesetzt ?

07.10.2006, 12:47

eierwurm

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ich hab 1 eingesetzt und wenn ich 0 einsetze, dann kommt doch eh nichts raus ...

07.10.2006, 12:54

Lazarus

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1) du darfst 0 nicht einfach einsetzt da ln(0) nicht definiert ist.
Also unbestimmtes Integral und Grenzwert bildung richtung 0.

2) was bekommst du denn als Wert raus wenn du 1 einsetzt ?

07.10.2006, 12:58

eierwurm

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für x = 1:
$\begin{eqnarray*} = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} *ln1 \end{eqnarray*}$

= -0,109140914

Wie mach ich das mit dem unbestimmten Integral und dem Grenzwert Richtung Null?

Mfg
eierwurm

07.10.2006, 13:07

derkoch

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Zitat:

Original von eierwurm
für x = 1:
$\begin{eqnarray*} = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} *ln1 \end{eqnarray*}$

= -0,109140914

Wie mach ich das mit dem unbestimmten Integral und dem Grenzwert Richtung Null?

Mfg
eierwurm

warum das?

ln(1) = 0

07.10.2006, 13:15

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \lim_{a\to 0}~\int\limits_{a}^1 ~f(x)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Das hier für $\begin{eqnarray*} x \to a \end{eqnarray*}$ dann doch $\begin{eqnarray*} f(x) \to 0 \end{eqnarray*}$ rauskommt ist ja nicht vom Himmel gefallen!

Aber sowas kann auch ins Auge gehen, wenn nicht bei der Aufgabe, dann bei einer anderen, und die kommt bestimmt!

07.10.2006, 14:25

eierwurm

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Also würde ich dann folgendes haben:

$\begin{eqnarray*} A = \int_{a}^{1}~x(2-lnx)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = [ \frac{5}{4}x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} *lnx ]_{a}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{5}{4} - ( \frac{5}{4} a^{2}- \frac{1}{2} a^{2} *lna) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{5-5a^{2}+2a^{2} *lna}{4} \end{eqnarray*}$

Und jetzt a gegen 0 streben lassen?

mfg
eierwurm

07.10.2006, 14:35

Lazarus

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Ich empfehl erstmal den Bruch aufzuteilen:
$\begin{eqnarray*} A &=&\lim_{a\to 0} \frac{5-5a^{2} +2a^{2} \cdot \ln(a) }{4}\\&=&\lim_{a\to 0}\frac{5}{4} - \lim_{a\to 0}\frac{5a^{2}}{4} + \lim_{a\to 0}\frac{2a^{2} \cdot \ln(a) }{4}\\&=&\frac{5}{4}-0+0=\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Den Logarithmushaltigen Term kann man z.b. mit lhosipial "bekämpfen"

07.10.2006, 14:40

eierwurm

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für den letzten teil: kann ich da a einfach ausklammern, also
$\begin{eqnarray*} = a^{2} \cdot (2*ln(\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$

mfg
eierwurm

07.10.2006, 14:41

eierwurm

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hab den nenner vergessen, sorry ...

07.10.2006, 14:49

Lazarus

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du darfst doch ned einfach aus dem Argument von ln was rausklammern !
HILFE !

07.10.2006, 17:52

eierwurm

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also nur
$\begin{eqnarray*} = \frac{a^{2} (2\cdot lna)}{4} \end{eqnarray*}$

oder wie?

07.10.2006, 18:37

Lazarus

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Des ist wurscht ob du des so umschreibst oder ned.

Das problem ist wenn du $\begin{eqnarray*} \lim_{a\to 0} a^2\cdot \ln(a) \end{eqnarray*}$ steht da ja $\begin{eqnarray*} 0\cdot \left(-\infty\right) \end{eqnarray*}$ was nicht sehr gut aussieht.

Dieses Problem könnte man aber mit l'Hospital lösen, weisst du was das ist ?

Wenn nein, frag bitte mal bei Wiki nach!

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