Lage von drei Ebenen

Neue Frage »

Mathe00 Auf diesen Beitrag antworten »
Lage von drei Ebenen
wie mache ich Parametergleichungen dreierEbenen, die sich alle
1. an einem punkt schneiden?
2. alle die selbe schnittgerade haben?

hoffe ihr versteht ohne zeichnung was ich meine.
ich geb mal einfach eine Ebene 1 vor, damit wir alle die gleiche ebene haben.



ich hab mir beim 1. vorgestellt, überall den selben ortsvektor zu nehmen und bei allen verschiedenen richtungsvektoren, die linear unabhängig sind.
beim 2. wollte ich dann einen gleichen orts- und richtungsvektro nehmen und den anderen richtungsvektor linear unabhängig machen.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Also generell wäre dein Weg auch derjenige, den ich beschreiten würde, wobei ich nicht ganz verstehe, was du mit "alle Vektoren müssen linear unabhängig sein" meinst. Vielleicht solltest du einmal ein Beispiel nennen.
Dasselbe gilt für die zweite Aufgabe, denn wenn du - neben dem gegeben Vektor - zwei Vektoren vorgibst, die linear unabhängig voneinander sind, dann heißt das nicht unbedingt, dass du damit auch zwei zur ersten verschiedene Ebenen gebildet hast.
Nehmen wir ein Beispiel: E1 sei eine Ebene mit dem Stützvektor a und den Richtungsvektoren r und v. Du sollst dazu eine andere, nicht parallele Ebene bilden, also nimmst du den Sützvektor a und den Richtungsvektor r und bastelst dir einen weiteren Richtungsvektor w. Wenn w und v l.u. dann heißt das aber nicht, dass die Ebenen auch unterschiedlich sind, denn es könnte ja sein, dass r, v und w linear abhängig sind und genau das darf ja nicht gelten. denn wenn drei Vektoren l.a. sind, dann sind sie ja komplanar. (Ich hoffe du verstehst, was ich meine)
Ich weiß nicht, ob du das gemeint hast mit "alle Vektoren müssen linear abhängig sein", wenn ja, dann ist in Ordnung.

Außerdem könntest du diverse Tricks (für die erste Aufgabe) anwenden. Zum Beispiel kannst du für je zwei Ebenen auch einen gleichen Vektor als Richtungsvektor benutzen, denn zwei Ebenen schneiden sich ja immer in einer Schnittgerade (es sei denn, sie sind parallel oder identisch natürlich), insoweit könntest du also Richtungsvektoren sparen. Außerdem könntest du mit den Normalvektoren der Ebenen rechnen, weil die in jedem Fall linear unabhängig zu den anderen Vektoren sind. usw.

Eine Frage hätte ich aber dazu: Sollt ihr IRGENDEINE Ebene benutzen, oder ist die von dir vorgeschlagene Ebene vorgegeben? Weil ansonsten könnte man es sich ja noch VIEL einfacher machen - ich sage nur: Koordinatensystem für die 1. Aufgabe....

Gruß
MI
Mathe00 Auf diesen Beitrag antworten »

in unserem buch ist keine ebene vorgegeben, aber unser lehrer hat uns die hier gegeben, damit wir besser vergleichen können.
"alle richtungsvektor sollten linear unabhängig sein" sollte bedeuten, dass sie nicht komplanar sein dürfen, wobei das bei der ersten aufgabe übertrieben erscheint. bei der ersten aufgabe bin ich mir nicht so sicher aber ich schreib einfach mal meine ebenengleichung hin.

zu1)




ob die richtungsvektoren linear unabhängig sind oder nicht prüfe ich doch, indem ich zwei richtungsvektoren addiere ich gucke, ob sie den anderen richtungsvektor erbeben oder?
außerdem würde ich gerne noch wissen, ob es reicht nur einen richtungsvektor zu verändern, aber dann wäre es doch das gleiche wie in aufgabe 2.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Prüfung der linearen Abhängigkeit: Drei Vektoren r,v und w sind linear abhängig (und somit unter anderem komplanar) wenn gilt: mit .
Also "nur" addieren könnte eventuell die falsche Lösung bringen (ich nehme aber einmal an, dass du das nicht meintest).

Zu 1: Hängt alles davon ab welchen Richtungsvektor du veränderst. Zwei Ebenen können aber jeweils EINEN Richtungsvektor haben, der gleich ist. Dieser darf dann aber selbstverständlich NICHT in der dritten Ebene enthalten sein...
Ich will das ganze einmal am einfachst möglichen Beispiel erläutern:
Punkt P(0;0;0) soll Schnittpunkt dreier Ebenen sein. Die erste Ebene habe die Gleichung:
Eine zweite Ebene hat ja auf jeden Fall eine Schnittgerade mit der ersten Ebene gemeinsam. Ich könnte also auch einen Richtungsvektor als Richtungsvektor der zweiten Ebene benutzen. Den anderen bilde ich mir, indem ich das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bilde:
Der Vektor ist garantiert l.u. zu den beiden Richtungsvektoren der gegebenen Ebene, da er der Normalvektor ist. Ich bilde also aus einem der beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene und dem Normalvektor eine zweite Ebene, die da wäre:

Und jetzt bilde ich mir meine dritte Ebene, indem ich von beiden bereits bekannten Ebenen den Vektor nehme, der nicht in der jeweils anderen vorhanden ist (denn die dritte Ebene hat ja wieder mit den beiden Ebenen von vorhin jeweils eine Schnittgerade). Und dann habe ich:

Und damit habe ich drei Ebenen, die nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben (wenn du genau hinschaust erkennst du, dass es die drei Ebenen sind, die durch die Achsen des Koordinatensystems beschrieben werden).

Im Übrigen dürften die beiden Ebenen aber stimmen, die du dir errechnet hast (Es sei denn, ich habe einen groben Rechenfehler gemacht, was aber durchaus vorkommen kann...)
Mathe00 Auf diesen Beitrag antworten »

nee meinte ich auch nicht. Augenzwinkern
hab mich nicht korrekt mathematisch ausgedrückt. thx für die hilfe.

übrigens kreuzprodukt hatten wir noch nicht, deshalb muss ich mir wohl was anders überlegen um lineare unabhängigkeit zu gewährleisten.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich drücke mich auch fast nie völlig korrekt aus (lernen wir auch in der Schule nicht, unser Lehrer hält das für quasi überflüssig in der Schule - ich nicht), also mach dir da nichts draus. Ich habe übrigens lediglich deine etwas schwammige Ausdrucksweise präzisiert, um auszuloten, ob du auch das richtige meinst, weil ich mir nicht ganz sicher war.

Wenn du das Kreuzprodukt noch nicht hattest, dann gibt es natürlich auch eine andere Möglichkeit den Normalvektor zu bestimmen (nichts anderes habe ich damit gemacht, denn das Kreuzprodukt erstellt einen Vektor, der zu den beiden gegebenen Vektoren senkrecht steht).
Ich hoffe, dass du über die Normalvektoren Bescheid weißt, denn dann könntest du statt des Kreuzproduktes den Weg zur Bestimmung eines Normalvektors gehen, den ihr in der Schule gemacht habt (wahrscheinlich über das Skalarprodukt: ein Richtungsvektor mal den Normalenvektor muss gleich Null ergeben. Dann hast du zwei Gleichungen (für zwei Richtungsvektoren), setzt für eine der Koordinaten eine Zahl ein und berechnest die anderen Koordinaten).

Gruß
MI
 
 
Mathe00 Auf diesen Beitrag antworten »

um ehrlich zu sein hatten wir den normalvektor auch noch nicht und das was du mir erklärt hast, hab ich auch noch nie gehört... unglücklich
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »