Untergruppen

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25.11.2009, 16:52	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen Hi, vielleicht könnt ihr mir bei folgender Aufgabe hefen, habe sie als Bilddatei angehängt. Mein Problem ist das ich nicht weiß wie ich auf die Untergruppen komme. Untergruppen muss ja das neutrale Element enthalten, also e, außerdem haben wir noch aufgeschrieben das die Teilmenge gegen die Operationen ° und ^-1 abgeschlossen ist. Ich denke mal das eine Unterguppe nur e ist, alle anderen müssten auf alle Fälle auch e enthalten, aber welche Elemente noch?
25.11.2009, 16:55	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie hat das mit dem Bild anhängen nicht geklappt, habe es deshalb nochmal woanders hochgeladen: img410.imageshack.us/img410/4508/dockd.jpg
25.11.2009, 22:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Bild ist mal sehr schlecht zu erkennen. Da es aber nur 2 Gruppen mit 6 Elementen gibt hab ich an 2 Einträgen schon erkannt welche es ist Also: Es gibt 1 UG der Ordnung 1, 3 der Ordnung 2, 1 der Ordnung 3 und 1 der Ordnung 6. Bis auf die mit Ordnung 6 ergeben sich alle UG als Erzeugnis eines Elementes(sprich alle Potenzen eines einzigen Elementes)
29.11.2009, 15:41	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Komisch das das Bild hier so klein ist, auf meinem PC war es vor dem hochladen deutlich größer... Die Ordnung gibt doch die Zahl der Elemente an, oder? Also ist die UG der 1. Ordnung die, die nur das neutrale Element enthält? Kann ich für die Erzeugung der anderen Untergruppen ein beliebiges Element nehmen, also z.B. s1? Wie meinst du das genau mit den Potenzen? Soll ich jetzt s1^0, s^1, s^2, usw. rechnen? Das würde 1, s1 und s1°s1=s1 ergeben, zusammen mit dem neutralen Element ergeben sie dann die 3 UG der Ordnung 2? Ich weiß jetzt aber nicht wie ich dann weiter machen soll...was wäre denn s1^3?
29.11.2009, 17:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. s1 und das Element was du mit 1 bezeichnet hast sind dasselbe. Dies ist also die UG der Ordnung 1
29.11.2009, 17:18	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ist s1 dann hier das neutrale Element, oder wie kann ich das verstehen? Denn die UG der Ordnung 1 erhält doch nur das neutrale Element, oder? Wie komme ich denn auf die anderen UG? Ich wüsste jetzt nicht wie ich s1^3 rechnen sollte...
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29.11.2009, 17:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, wenn s1 das neutrale Element ist so ist s1^3 eben s1. Die Untergruppen ergeben sich wie gesagt als Erzeugnis.
29.11.2009, 17:22	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es scheinbar eine Aufgabe aus meiner Vorlesung ist, will ich mal auch einen Tipp geben: Wenn du dir zB s2 ° s2 anschaust, entsteht s3 (gelesen s2 "nach" s2). Somit ist s3 quasi s2^2. Also hast du ja schonmal eine Untergruppe U_1={s1, s2} gefunden mit \|U_1\| = 2. Alle trivialen Untergruppen zu finden ist nun wirklich ... trivial
29.11.2009, 17:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist dein U_1 aber nicht abgeschlossen unter der Operation...
29.11.2009, 17:31	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, man sollte auch sein Skript richtig abschreiben. U_1={s1, s4} als Beispiel.
29.11.2009, 19:27	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich komme dann auf folgende UG: {s1} {s1,s4},{s1,s5},{s1,s6} {s1,s2,s3} {s1,s2,s3,s4,s5,s6} Kann das so stimmen?
29.11.2009, 19:29	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt
29.11.2009, 20:33	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok sehr schön, ich habe jetzt noch eine Frage zu b), dort soll ich ja für eine nichttrivale Untergruppe alle Nebenklassen ermitteln. Nehme ich mir jetzt z.B. als UG {s1,s4}, so wie ich das verstanden habe muss ich dann also die einzelnen Elemente der Gruppe mit denen der UG verknüpfen, dadurch würde ich erhalten: (s2,s6),(s3,s5),(s4,s1) Ist das so richtig?
29.11.2009, 20:39	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Außer bei der trivialen Untergruppe UG=G sind die Linksnebenklassen nicht gleich den Rechtsnebenklassen. Daher ist es ein unterschied, ob du bei s2{s1, s4} oder {s1,s4}s2 rechnest, da s2°s4 = s6 ergibt und s4°s2 = s5.
29.11.2009, 21:45	dd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt, daran habe ich jetzt gar nicht mehr gedacht, hatte erst alle aufgechrieben, sie dann doch wieder entfernt... Also muss ich noch (s6,s2) und (s5,s3) ergänzen, oder? Damit wärens dann: (s2,s6),(s3,s5),(s4,s1),(s5,s3),(s6,s2)

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