Quotientengruppe/Rechtsnebenklassen

25.11.2009, 16:59

Hans-Dampf

Quotientengruppe/Rechtsnebenklassen

Hallo,
ich arbeite grade im Algebra I Skript und habe Probleme mit dem Verständnis von Rechtsnebenklassen (im Kapitel Quotientengruppen). So da haben wir folgende Definition:

"Sei G Gruppe, H Untergruppe von G und $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ . Dann sagen wir, a ist kongruent zu b modulo H, in Zeichen $\begin{eqnarray*} a \equiv b mod H \end{eqnarray*}$ , genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} ab^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ ."

Dann hätte ich hier schon meine erste Frage und zwar ist modulo Rechnen, doch rechnen mit Rest, was mir unklar ist, warum ich überhaupt mod H rechnen kann oder was ich mir hier vorstellen muss? Ist damit jedes x-beliebige Element der Gruppe H gemeint?

Nächste Definition:
"Die Menge $\begin{eqnarray*} Ha:=[ha | h \in H] \end{eqnarray*}$ wird eine Rechtsnebenklasse von H in G genannt. Das Element a heißt Repräsentant der Rechtsnebenklasse Ha."

Mir ist jetzt einfach der Sinn einer Rechtsnebenklasse nichtssagend. Soll es einfach bedeuten ich kann ein Element $\begin{eqnarray*} h \in H \end{eqnarray*}$ nehmen und ein Element $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ von rechts dranmultiplizieren und erhalte dann eine neue Menge? Was ist dann das tolle daran?

Soo, und zu guter letzt noch ein Beispiel aus dem Skript:
Die Rechtsnebenklassen von $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sind (in Zykelschreibweise)
[(1)] = {(1), (123), (132)} = $\begin{eqnarray*} A_3(1) \end{eqnarray*}$
[(12)] = {(12), (13), (23)} = $\begin{eqnarray*} A_3(12) \end{eqnarray*}$

Hier ist mir total unklar was A_3 ist... S_3 ist ja die Symmetrische Gruppe, aber auch wie hier gerchnet wurde ist mir ein Rätsel...

Hoffe mir kann jemand helfen!!!

25.11.2009, 18:44

Elvis

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"modulo rechnen" heißt nicht "rechnen mit Rest". Eine Kongruenzrelation ist eine strukturverträgliche Äquivalenzrelation. Mit den Klassen der Äquivalenzrelation kann man im Idealfall rechnen. Der Idealfall bei Gruppen sind die Normalteiler, das sind Untergruppen bei denen Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Die Faktormenge der Äquivalenzrelation bildet eine Gruppe, nämlich die Quotientengruppe. Fundamental wichtig ist, dass die Normalteiler genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen sind (Homomorphiesatz) und die Isomorphiesätze für Gruppen. Ähnliches hast du schon in LA über Vektorräume gehört.

25.11.2009, 18:59

Reksilat

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Hi Hans,

Die Bezeichnung "modulo H" ist eben zuerst mal eine Bezeichnung. So wichtig ist das am Anfang nicht, das Gefühl dafür, weshalb man das so nennt, wird sich aber mit der Zeit einstellen.
Für den Moment reicht es erstmal, zu wissen, dass a kongruent b ist, wenn a und b die gleiche Rechtsnebenklasse von H repräsentieren.

Den Sinn von Nebenklassen zu erklären, würde jetzt auch etwas zu weit führen. Bevor man zu tollen Ergebnissen kommt, muss man eben auch ein wenig Grundlagen erarbeiten.

Zu dem Beispiel:

Die sogenannte Alternierende Gruppe vom Grad n besteht aus genau den Permutationen der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ , die Signum +1 haben. (Siehe dazu hier)
In der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sind das gerade: $\begin{eqnarray*} id.,(123),(132) \end{eqnarray*}$

Wie man leicht nachprüfen kann, bilden diese Permutationen immer eine Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .

Es ist also: $\begin{eqnarray*} A_3=\{id.,(123),(132)\} \end{eqnarray*}$
Die Rechtsnebenklasse von $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ ist dann: $\begin{eqnarray*} A_3(12)=\{id\cdot(12),(123)\cdot(12),(132)\cdot(12)\}=\{(12),(13),(23)\} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

26.11.2009, 09:46

Hans-Dampf

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Zitat:

Original von Reksilat

In der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sind das gerade: $\begin{eqnarray*} id.,(123),(132) \end{eqnarray*}$

Wie man leicht nachprüfen kann, bilden diese Permutationen immer eine Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .

Es ist also: $\begin{eqnarray*} A_3=\{id.,(123),(132)\} \end{eqnarray*}$
Die Rechtsnebenklasse von $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ ist dann: $\begin{eqnarray*} A_3(12)=\{id\cdot(12),(123)\cdot(12),(132)\cdot(12)\}=\{(12),(13),(23)\} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal, etwas klarer ist es geworden, aber könntest du evtl. noch kurz erklären, wie man auf das Ergebis im Beispiel kommt, z.B. (132)*(12)=(23), was rechnest du da?

26.11.2009, 09:59

Reksilat

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Das ist die ganz normale Weise, wie man Permutationen miteinander multipliziert. Häufig wird die Multiplikation dabei von rechts gelesen, deshalb habe ich das hier auch so gemacht. (Persönlich lese ich sie lieber von links - da kommt dann zwar immer was anderes raus, aber im Prinzip funktioniert sie gleich.)

Also: Permutationen sind ja nichts anderes als Abbildungen: $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\}\to\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$
Was macht die Permutation $\begin{eqnarray*} (132)\cdot(12) \end{eqnarray*}$ mit der 1?
Nun, $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ bildet sie auf 2 ab und die 2 wird von $\begin{eqnarray*} (132) \end{eqnarray*}$ wieder auf 1 abgebildet. Insgesamt betrachtet bleibt die 1 also fest:
$\begin{eqnarray*} (132)(12)[1]=(132)[2]=1 \end{eqnarray*}$

Analog:
$\begin{eqnarray*} (132)(12)[2]=(132)[1]=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (132(12)[3]=(132)[3]=2 \end{eqnarray*}$

Es geht also 1->1, 2->3 und 3->2

Damit ist $\begin{eqnarray*} (132)\cdot(12)=(23) \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

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