Vektorraum = direkte Summe aus Kern und Bild von f

25.11.2009, 17:28

Kaninchen

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Vektorraum = direkte Summe aus Kern und Bild von f

Hallo!

Ich habe leider ein Problem bei einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter.
Sie lautet wie folgt: Sei V ein K-Vektorraum, f: V -> V eine k-lineare Abb. mit f verknüpft mit f = f. Zeige: $\begin{eqnarray*} V = Ker f \oplus Im f \end{eqnarray*}$ und gib ein konkretes Beispiel einer solchen Abbildung an, die nicht trivial ist, d.h. weder die Identität noch die Nullabbildung.

Also, mir ist es schon klar, dass $\begin{eqnarray*} V = Ker f \oplus Im f \end{eqnarray*}$ so sein muss, wenn f(f(x)) = f ist...aber ich hab irgendwie nicht die richtige Idee, zu zeigen, warum das daraus folgt. f müsste doch eigentlich die Identität sein?
Wär euch sehr dankbar für eine kleine Hilfestellung!

Liebe Grüße

25.11.2009, 18:00

tmo

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Du hast prinzipiell erstrmal zwei Dinge zu zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} V \subseteq \operatorname{Ker}(f) + \operatorname{Im}(f) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Im}(f) = \{0\} \end{eqnarray*}$

Versuche dich daran mal.

25.11.2009, 19:07

Kaninchen

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Hey,

also das 2. ist ja eigentlich dann klar, da ja der Ker(f) im Bild von f enthalten ist, der Kern besteht ja aus der Menge der v für die gilt f(v) = 0, und der Schnitt von den beiden kann dann ja nur die 0 sein, oder begründe ich das dann falsch?

Kann ich dann nicht auch 1. aus 2. folgern?

Danke für deine Hilfe auf jeden Fall smile

smile

25.11.2009, 22:16

tmo

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1. folgt aus 2. und der Dimensionsformel. Das ist korrekt. Allerdings gibt es einen schöneren Beweis, der nur $\begin{eqnarray*} f(f(x))=f(x) \end{eqnarray*}$ ausnutzt. Es ist ja $\begin{eqnarray*} x=x-f(x)+f(x) \end{eqnarray*}$ ...

Deine Begründung für 2. ist allerdings nicht korrekt.

Du könntest so vorgehen: Wähle ein $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ , dass sowohl im Kern als auch im Bild von f liegt und folgere $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=f(v) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} x=f(v)=f(f(v))=... \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 19:07

Kaninchen

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Okay, danke, bei 2. hab ich jetzt raus, dass im Endeffekt folgt, dass f(v) = f(x),
also 0 = f(0) ist und dann kann der Schnitt von Bild und Kern ja nur die 0 enthalten. Richtig?

Dann versuch ich mich mal an der 1. weiter. Ich danke dir!

26.11.2009, 19:25

Kaninchen

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Also, bei 1. hätte ich jetzt so argumentiert:

x = f(x) + f(f(x)) - f(f(x)) weil f(f(x)) = f(x)
f(x) ist dann ja das Bild von x und f(f(x)) - f(f(x)) ist ja 0, und die liegt ja im Kern von diesem f => also ist x = Im f + Ker f

Geht das so?

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27.11.2009, 10:53

tmo

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Zitat:

Original von Kaninchen
Also, bei 1. hätte ich jetzt so argumentiert:

x = f(x) + f(f(x)) - f(f(x)) weil f(f(x)) = f(x)

Was da steht, ist $\begin{eqnarray*} x=f(x) \end{eqnarray*}$

Und das ist im Allgemeinen eindeutig falsch.

27.11.2009, 17:00

Kaninchen

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Achja, hm.
Wenn ich dann x = x - f(f(x)) + f(x) habe, darf ich denn dann sagen, dass der Teil + f(x) das Bild und x - f(f(x)) den Kern darstellt? Also ist das der richtige Weg um es zu zeigen?

27.11.2009, 18:57

tmo

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Warum denn $\begin{eqnarray*} x = x-f(f(x))+f(x) \end{eqnarray*}$ ? Das ist zwar auch richtig, aber ich hab doch geschrieben:

$\begin{eqnarray*} x=x-f(x)+f(x) \end{eqnarray*}$

Nun setze mal $\begin{eqnarray*} y := x-f(x) \end{eqnarray*}$ und berechne $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus für y?

27.11.2009, 20:02

Kaninchen

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y = 0

smile

und dann besteht V ja auch daraus folgend aus der direkten Summe vom Kern und dem Bild.

27.11.2009, 20:06

tmo

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Zitat:

Original von Kaninchen
y = 0 smile

smile

Wer sagt das?

27.11.2009, 20:06

Kaninchen

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Und bzgl einem konkreten Beispiel hab ich mir f(x) = x² überlegt, aber von den positiven reellen Zahlen in die positiven reellen Zahlen. Dann besteht der Kern ja auch nur aus der 0 und das Bild von f geschnitten Kern enthält nur die 0 und somit würde V auch so aussehen wie gefordert. Richtig?

27.11.2009, 20:07

Kaninchen

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Kaninchen
y = 0 smile

smile

Wer sagt das?

Das folgt doch weil f(y) = 0. Da der Kern aber nach 2. nur aus der 0 besteht, muss es f(0) sein, also y = 0

27.11.2009, 20:10

tmo

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Der Kern besteht nicht notwendigerweise nur aus der 0. Wer hat das denn schon wieder behauptet?

Du sollst ja sogar ein Beispiel angeben, bei dem der Kern nicht nur aus der 0 besteht. Dann wäre f nämlich die Identität.
Dein Beispiel ist übrigens völlig sinnlos, da $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ nicht linear ist.

Aber kommen wir zu dem, was richtig ist: f(y)=0. Also ist y im Kern. f(x) ist im Bild.

Also ist $\begin{eqnarray*} x = y+f(x) \in \operatorname{ker}(f) + \operatorname{Im}(f) \end{eqnarray*}$

27.11.2009, 20:56

Kaninchen

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Ja ok.

Kann ich für die andere Richtung zeigen, dass Ker (f) + Im (f) einen Untervektorraum von V bilden und somit in V enthalten sind?

28.11.2009, 11:03

tmo

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Ja. Die Summe zweier Unterräume ist wieder ein Unterraum.

Aber was du immer noch nicht richtig gezeit hast, ist die 2. Aussage. Daran solltest du dich nochmal versuchen.

02.06.2011, 19:15

Trotteltrottel

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ähm, warum soll denn f(x-f(x))=0 gelten? Dass f eine Projektion ist war nicht vorausgesetzt...

02.06.2011, 19:17

Trotteltrottel

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schon ok, habe mich verlesen....

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