Das Quadrat einer komplexen Zahl sei eine komplexe Zahl und eine trigonometrische Funktion

25.11.2009, 17:49	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Quadrat einer komplexen Zahl sei eine komplexe Zahl und eine trigonometrische Funktion Hallo zusammen! Ich habe zwei kurze (?) Fragen... :-) 1. Es handelt sich um das gleiche Problem wie hier: Klick Seien $\begin{eqnarray} c=a+bi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z= x+ yi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z^2=c \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist zu bestimmen. Ich bin ein wenig weiter gekommen, wie in jenem Thread und zwar stehe ich hier: $\begin{eqnarray} 4x^4- 4ax^2 -b^2 = 0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} g = x^2 \end{eqnarray}$ dann folgt $\begin{eqnarray} 4g^2 - 4ag -b^2 = 0 \end{eqnarray}$ Dies löse ich mittels Mitternachtsformel zu: $\begin{eqnarray} \frac{4a\pm \sqrt{16a^2-4\cdot4\cdot-b^2}}{8} \end{eqnarray}$ also gibt es zwei Lösungen $\begin{eqnarray} g_1= \frac{Re(c) +\|c\|}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2= \frac{Re(c) -\|c\|}{2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} x_1=\pm \sqrt{ \frac{Re(c) +\|c\|}{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=\pm \sqrt{ \frac{Re(c) -\|c\|}{2}} \end{eqnarray}$ Soweit so gut (glaube ich), das kann ich jetzt einsetzen in $\begin{eqnarray} b= 2xy \end{eqnarray}$ und noch den Imaginären Teil der Zahl z zu bestimmen. $\begin{eqnarray} y_1=\frac{b}{2\left(\pm \sqrt{ \frac{Re(c) +\|c\|}{2}}\right)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2=\frac{b}{2\left(\pm \sqrt{ \frac{Re(c) -\|c\|}{2}}\right)} \end{eqnarray}$ Stimmt das? Soweit ich weiss nicht, aber ich weiss nicht wo ein Fehler sein könnte.. 2. Zu zeigen: Für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sin \frac{x}{2}\neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2\sin (\frac{1}{2}x)} \end{eqnarray}$ Zunächst habe ich dies mittels Induktion zeigen wollen, scheiterte allerdings bereits an der IV, die ich mit n=1 versucht habe. Dann wollte ich es mit der Reihenentwicklung von Cosinus und Sinus versuchen, scheiterte aber äusserst bald, weil ich mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l (kx)^{2l}}{(2l)!} \end{eqnarray}$ Aber auch der Rest ging nicht sooo schön auf.. Dann habe ich versucht was mit $\begin{eqnarray} \cos x = \frac{1}{2} (e^{ix}+e^{-ix}) \end{eqnarray}$ anzufangen, aber oh Überraschung.. wieder eine Sackgasse Polarkoordinaten kenne ich noch nicht. Ja... über Hinweise wäre ich sehr froh Gruss
25.11.2009, 18:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe hier
25.11.2009, 19:02	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das sehe ich mir gleich mal an! Hinweise zur ersten Frage?
25.11.2009, 19:33	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, Die Induktionsannahme ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2\sin (\frac{1}{2}x)} \end{eqnarray}$ Der Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n+1} \cos kx = \frac{\sin ((n+1)+\frac{1}{2})x}{2\sin (\frac{1}{2}x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2\sin (\frac{1}{2}x)}+\cos ((n+1)x) = \frac{\sin ((n+1)+\frac{1}{2})x}{2\sin (\frac{1}{2}x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \sin \left(\frac{2n+1}{2}\right) - \sin \left(\frac{2n+3}{2}\right)=\frac{-2\cos(nx+x)\sin(\frac{x}{2})}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2\cos(n+1) \sin(-\frac{1}{2}) =\frac{-2\cos(nx+x)\sin(\frac{x}{2})}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x\cos(n+1) \sin(\frac{1}{2}) =\cos((n+1)x)\sin(x\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ Aber das ist doch nicht dasselbe jetzt, oder? Und die Induktionsverankerung klappt auch nicht
26.11.2009, 18:53	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe meinen Fehler gefunden.. Es ist $\begin{eqnarray} \sin[(n+\frac{1}{2})x] \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \sin[(n+\frac{1}{2})]x \end{eqnarray}$ auch zu meiner ersten Frage habe ich eine Lösung gefunden! Ansatz: $\begin{eqnarray} \|c\|=\|z^2\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Re(c)=Re(z^2) \end{eqnarray}$ Gruss

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