Eigenvektoren zu komplexen Eigenwerten berechnen

25.11.2009, 18:37

000000

Eigenvektoren zu komplexen Eigenwerten berechnen

Ich soll die Eigenvektoren zu
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
berechnen, welche die komplexen Eigenwerte
$\begin{eqnarray*} \{1+2i, 1-2i\} \end{eqnarray*}$
besitzt.

Das LGS
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}= (1 + 2i)\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
liefert mir jedoch nur
$\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{i}{2} v_2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v_2 = -2iv_1 \end{eqnarray*}$
womit ich dann jedoch zu keinem Ergebnis gelange.

Was habe ich falsch gemacht?

25.11.2009, 18:46

Cel

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Nichts, wieso? Mach weiter, es gibt halt keine eindeutige Lösung für diese beiden Gleichungen ...

25.11.2009, 18:48

000000

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Ich habe aber zwei Vektoren als Lösung in einem Skript stehen?

25.11.2009, 18:50

Cel

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Welche denn?

25.11.2009, 18:57

000000

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$\begin{eqnarray*} v^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v^{(2)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.11.2009, 19:06

Cel

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RE: Eigenvektoren zu komplexen Eigenwerten berechnen
Das sind aber sicherlich nicht die einzigen, denn Vielfache davon klappen auch: Nimm zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{1}{2}i \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}i \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}i-1 \\ 2i+1\end{pmatrix} = (1+2i)\begin{pmatrix}\frac{1}{2}i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit sind die Eigenvektoren zum Eigenwert (1+2i) alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \mu \begin{pmatrix}1 \\ -2i\end{pmatrix}, \mu \in \mathbb{C}. \end{eqnarray*}$ Und genau das kommt auch bei deinen Gleichungen oben raus. Augenzwinkern

25.11.2009, 19:54

000000

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Aber wenn ich zwei Gleichungen und zwei Unbekannte habe, warum ist das LGS dann nicht genau bestimmbar?

25.11.2009, 20:04

Cel

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Na ja, es gibt halt LGSe, die nicht eindeutig lösbar sind, weil die Zeilen linear abhängig sind. Dein LGS heisst hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & -0,5i \\ 2i & 1\end{pmatrix}v = 0 \end{eqnarray*}$

Beachte, dass die Zeilen dieser Matrix linear abhängig sind, daher existiert keine eindeutige Lösung.

25.11.2009, 20:17

000000

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Aber ja doch, natürlich!

Du hast in deinem LGS aber die Zeilen vertauscht und auch schon Operationen (Multiplikation mit -1, Division durch 4) vorgenommen.

Danke jedenfalls!

25.11.2009, 21:18

Cel

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RE: Eigenvektoren zu komplexen Eigenwerten berechnen

Zitat:

Original von 000000
$\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{i}{2} v_2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v_2 = -2iv_1 \end{eqnarray*}$

Das habe ich zu einem LGS umgeformt, aber das nur als Ergänzung, da du es ja schon verstanden hast. smile

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