Kreuzprodukt zeigen

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt zeigen
Grüß Gott,

würde gerne wissen, wie man das hier angeht:

Gegeben seien zwei nicht parallele Vektoren und . Für welche Vektoren gilt:



Also das x steht für Vektorprodukt...


Nun möchte ich das nicht durch elementares ausrechnen rausbekommen, sondern über eine andere Variante, wie wärs mit Überlegen?

Also links, dann bekomme ich einen Vektor heraus, der senkrecht auf b und c steht.

Links habe ich in den Klammern einen Vektor der senkrecht auf a und b steht.


Hmm nur irgendwie weiß ich nicht weiter was ich nun überlegen muss...
vielleicht hat ja jemand nen Tipp

bringt aufmalen was?

gruß physi
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende in LaTex beim Vektorprodukt \times statt des x !

Das "Aufmalen" kann Klarheit über die Richtung bringen, falls man das (verblüffende) Resultat für den gesuchten Vektor bereits kennt ( Big Laugh ), bei den Längen wird's vieleicht schwieriger.

Ich könnte mir aber vorstellen, dass die Rechnung mittels der Grassmann-Identität (*) Erfolg bringt:

(*)


Forme damit beide Seiten Vektorgleichung um!

Der (nicht eindeutige) Ergebnisvektor sollte zur Probe wieder in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden, um die Identität der beiden Seiten zu überprüfen.

mY+
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

also habe das mal ausgeführt, ausführlich und unausführlich,

unausführlich steht ja dann dran:



Ist das richtig oder habe ich die rechte Seite falsch ausgeführt? Das ist auch irgendwie merkwürdig auszuführen, da man ja die Elemente nicht vertauschen darf in der Reihenfolge also nicht (a x b) x c ist ungleich c x (a x b) ...

Von dem her ist die Regel von oben ein wenig schwer anzuwenden, hoffe ich habe sie richtig...

Zumindest wenn das so stimmt, dann würde sich auskürzen:

so dass dran steht:



Jetzt kann ich ja noch das Minus Zeichen wegkürzen, nur wie dann weiter frage ich mich?
Habe das ganze auch ausführlich gemacht (b=...) (c=...)

Hmm nun weiß ich aber nicht weiter...danke für jeden tipp
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die skalare Multiplikation ist kommutativ, daher können dort die Faktoren vertauscht werden! Wenn man bei der vektoriellen Multiplikation die Faktoren vertauscht, wird das ursprüngliche Vektorprodukt einfach negativ.
Mit den Komponenten zu rechnen ist m.E. nicht notwendig, so wie du das bis jetzt gerechnet hast, ist dein bisheriges Ergebnis richtig!

Nun musst du nur noch aus



und der Tatsache, dass die beiden Vektoren und nicht kollinear (also lin. unabh.) sind, die richtigen Schlussfolgerungen ziehen und du bist schon am Ende!

Hast du die Eingebung?

mY+
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die skalare Multiplikation ist kommutativ




ist doch nicht kommutativ, ich darf doch nicht schreiben



...


hmm irgendwie fehlt mir die leuchtende Eingebung Hammer
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Physinetz
... ist doch nicht kommutativ, ich darf doch nicht schreiben


...


So? Weshalb denn nicht? Hast du dies schon mal nachgerechnet?

Im Übrigen war die skalare Multiplikation zweier Vektoren gemeint (und nicht die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, was allerdings auch "verkehrt" geschrieben werden könnte, weil dann sowieso immer nur ein Vektor entsteht).
______________

Die "Eingebung" sollte sein, dass die Vektoren und linear unabhängig sind. Wie müssen dann deren Faktoren in der bisher erhaltenen Beziehung (deren Linearkombination)







lauten?
Hinweis: Bei lin. Unabh. gilt die triviale Relation.

mY+
 
 
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

Tag

Ich muss diesselbe Aufgabe lösen muss. Ich bin genauso weit gekommen wir ihr hier in dem Thread.

Bin ich jetzt Blöd? Wenn



sowohl kommutativ als auch distributiv sind, dann steht doch links und rechts bereits das gleiche. Und damit WÄREN Sie ja gleich. Was sie generell ja nicht sind, sondern nur für ein bestimmtes b.

Um mal auf die "Eingebung" zu kommen...
Lineare unabhängig heißt in diesem Fall, dass

ungleich 0 ist.
wenn a und c selbst ungleich 0 sind (was ja vorgegeben ist) oder?

Trotzdem fehlt mir noch der letzte Tick...



Theoretisch muss das Skalarprodukt von b und c (das dann den Skalar von a bildet) den Vektor a also so verändern, dass er gleich wird wie wenn man dasselbe mit a und c vertauscht anstellt. Da kommen mir halt so Dinge in den Kopf wie Kehrwert, Negation, Beträge usw...
Finde also keinen Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit und der faktoren. unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wer hat etwas von distributiv gesagt?
Du weisst schon, was



wirklich bedeutet? Es besagt nichts anderes, als dass der Vektor a mit dem skalaren Produkt von b und c multipliziert wird. Daher ist das Ergebnis ein Vektor, welcher dieselbe Richtung wie der Vektor a hat, er wird nur entsprechend "verlängert".
Da kann natürlich kein Distributivgesetz gelten.

Zitat:
Original von Sumit
...
Wenn



sowohl kommutativ als auch distributiv sind, dann steht doch links und rechts bereits das gleiche. Und damit WÄREN Sie ja gleich.
...


Das da ist tatsächlich das Gleiche. Es geht allerdings um die etwas andere Beziehung weiter unten.

Zitat:

Um mal auf die "Eingebung" zu kommen...
Lineare unabhängig heißt in diesem Fall, dass

ungleich 0 ist.

Nein, das heisst es nicht. Was passiert z.B., wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen?

Skalare und vektorielle Multiplikation nicht verwechseln!

Zitat:

Trotzdem fehlt mir noch der letzte Tick...



Theoretisch muss das Skalarprodukt von b und c (das dann den Skalar von a bildet) den Vektor a also so verändern, dass er gleich wird wie wenn man dasselbe mit a und c vertauscht anstellt. Da kommen mir halt so Dinge in den Kopf wie Kehrwert, Negation, Beträge usw...
Finde also keinen Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit und der faktoren. unglücklich


Offensichtlich ist bei euch die Folgerung aus der linearen Unabhängigkeit das Problem. Also gut, dann gebe ich das Geheimnis preis (ich hatte gehofft, ihr kommt selbst darauf):

Bei zwei linear unabhängen Vektoren und müssen in der Relation



die beiden Faktoren und gleich Null sein! Das ist doch bekannt, oder?
Was bedeutet dies nun für die beiden skalaren Produkte und ?

mY+
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

wouuu da hab ich ziemlich viel durcheinander gebracht.
Ja ok soweit "verstanden" aber immernoch nicht erleuchtet worden. Ich werds morgen nochmal angehn.

Aber nur mal so hingeworfen...

Da und quasi die Skalare der Vektoren darstellen müssen diese 0 werden. Und damit diese 0 werden muss der Vektor b null sein...

Aber das ist doch nicht die Lösung...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Folgerung deckt nicht alle Fälle ab. Denn die Rechenregeln für die skalare Multiplikation von Vektoren funktionieren etwas anders, als bei der "normalen" Multiplikation.

In jenem Fall, in dem das skalare Produkt zweier Vektoren (von denen keiner der Nullvektor ist) gleich Null ist, liegt eine Besonderheit vor. Fällt dir diese ein?

mY+
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der eine orthogonal zum andren ist. Sie alsO einen 90Grad Winkel einschließen. Oder?
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

Ps.: welcher Vektor liegt orthogonal auf a und c? a x c ! Also b = a x c? Darf ich mich jetz freuen oder fehlt noch was?
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

und c x a ... :-)
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

du darfst dich freuen :-D

Vielen Dank Mythos !
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Also, was lange währt, wird endlich gut, so heisst es. Fast.

Mich interessiert nämlich noch, welches Resultat nun GENAU für b herauskommt. Bis jetzt steht lediglich fest, dass b normal zu a und c steht.
ist mir aber leider zu wenig! Weshalb wohl?

mY+

Die Probe durch Einsetzen ist - wie erwähnt - auch nicht schlecht, allerdings natürlich nicht verlangt.
survivor84 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

ich hab die selbe Aufgabe zu machen.

Als Lösung hab ich:
b ist Nullvektor oder b = k (a x c) oder b = k (c x a) mit k
stimmt das dann?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich, dass Physinetz da drauf kommt. Big Laugh

Ja, es ist richtig. Der Nullvektor muss nicht extra erwähnt werden. (b kann ja auch Null sein). Der Faktor k bewirkt, dass es unendlich viele Lösungen gibt, welche aber selbstverständlich alle hinsichtlich der Orthogonalität die gleiche Eigenschaft besitzen. Der Lösungsvektor ist also bis auf seine Länge und Orientierung bestimmt.

mY+
kirnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
b ist Nullvektor oder b = k (a x c) oder b = k (c x a) mit k


hier reicht doch dann einfach b = k (c x a) mit k , da damit ja alles vom Vorredner abgedeckt ist!?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile Siehe doch meinen Vorpost!

mY+
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von survivor84
hallo,

ich hab die selbe Aufgabe zu machen.

Als Lösung hab ich:
b ist Nullvektor oder b = k (a x c) oder b = k (c x a) mit k
stimmt das dann?



Das folgt ja praktisch aus den Gesetzen für die Vekorrechnung, richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es. Den Nullvektor nicht extra anführen, denn der ist ja auch mit k = 0 abgedeckt.

mY+
survivor84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja, so ist es. Den Nullvektor nicht extra anführen, denn der ist ja auch mit k = 0 abgedeckt. mY+


oh ja, mit k ist das ja auch schon drin smile .

Danke!
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

weils auch ein vielfaches davon sein kann? (Es würde also ein Skalar / Faktor) fehlen)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Die Sache mit dem Faktor steht doch ohnehin schon in den Vorposts.

mY+
Sumit Auf diesen Beitrag antworten »

ahh... habe die 2te Seite des Threads nicht gesehen Big Laugh deshalb hab ich das jetzt nochmal so dahin geschrieben

Ok vielen Dank für die hilfe!!!!
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