Konvergenz Gesamt- und Einzelschrittverfahren

25.11.2009, 20:50	Faculty	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Gesamt- und Einzelschrittverfahren Hallo, ich hänge momentan an folgender Aufgabe: Prüfen Sie, ob (a) das Gesamt- und (b) das Einzelschrittverfahren zur Lösung des linearen Gleichungssystems $\begin{eqnarray} Ax = b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A = \left(\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) \end{eqnarray}$ konvergiert. Es gelte $\begin{eqnarray} c_i = \frac{b_i}{a_{ii}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{ij} = \begin{cases} -\frac{a_{ij}}{a_{ii}} & \forall i \neq j \\ 0 & \forall i = j \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow B = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_i = b_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = Bx + c \end{eqnarray}$ Zeilenkriterium: $\begin{eqnarray} \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{k=1}^n \|b_{ik}\| = \max\{\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; 4\} = 4 \not\leq 1 \end{eqnarray}$ Spaltenkriterium: $\begin{eqnarray} \max\limits_{1 \leq k \leq n} \sum_{i=1}^n \|b_{ik}\| = \max\{\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; 2\} = \frac{5}{2} \not\leq 1 \end{eqnarray}$ Schmidt - v. Mises Kriterium: $\begin{eqnarray} \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n {\left\|b_{ik}\right\|}^2} = \sqrt{\frac{21}{2}} > 3 \not\leq 1 \end{eqnarray}$ Sowohl das Zeilen-, Spalten als auch das Schmidt-v.Mises Kriterium treffen nicht zu. Ausserdem ist die Matrix nicht symmetrisch, da $\begin{eqnarray} a_{31} = -2 \neq 1 = a_{13} \end{eqnarray}$ . Kann ich nun sagen, dass die beiden Verfahren nicht konvergieren?

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