Möbius-Transormation

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25.11.2009, 21:29	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Möbius-Transormation Es sei $\begin{eqnarray} H:=\{ z \in \mathbb{C} : Imz>0 \} \end{eqnarray}$ die obere komlexe Halbene. Zeigen Sie: i) Durch $\begin{eqnarray} g(z):= \frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray}$ wird für reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c,d \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ genau dann eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} g: H \rightarrow H \end{eqnarray}$ definiert, wenn $\begin{eqnarray} ad-bc > 0 \end{eqnarray}$ ist. ------------------- Ich habe nun mal mit der einen Richtung $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ angefangen. Es gelte $\begin{eqnarray} ad-bc > 0 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen bleibt, dass g bijektiv ist, dass g also eine Umkehrabbildung hat. Diese ist als Hinweis auf dem Aufgabenblatt gegeben mit $\begin{eqnarray} h(z):= \frac{dz-b}{-cz+a} \end{eqnarray}$ . Nun bleibt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} g \circ h \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist: $\begin{eqnarray} g(h(z)=g(\frac{dz-b}{-cz+a} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{d(\frac{dz-b}{-cz+a})-b }{-c(\frac{dz-b}{-cz+a}) +a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{d^2z-bd-b(-cz+a)}{-cdz+bc+a(-cz+a)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{(d^2+bc)z-bd-ba}{(-cd-ac)z+bc+a^2} \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig und reicht das für die eine Richtung?
25.11.2009, 21:45	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
willst du nicht viel eher zeigen, dass $\begin{eqnarray} (h (g(z)))=z \end{eqnarray}$ ?
25.11.2009, 21:48	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, hört sich irgendwie sinnvoller an. Aber wie soll man denn aus dem Ausruck z bekommen? EDIT: Also dann muss ich das ja genau andersrum einsetzen, oder? Aber der Ausdruck wird ja sicherlich ähnlich aussehen. Na ich probiers mal.
25.11.2009, 21:57	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeah, das klappt. 1000 Dank!!! So nun an die andere Richtung, ich meld mich wenns Schwierigkeiten gibt
25.11.2009, 23:10	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, also nun ist ja die Richtung $\begin{eqnarray} ad-bc>0 \Rightarrow g bijektiv \end{eqnarray}$ Ich schreibe g(z) mal um: $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} = \frac{ax+aiy+b}{cx+ciy+d} \end{eqnarray}$ Ich habe jetz mal versucht da mit dem komplex konjugierten zu erweitern, aber da bekomm ich nur riesige terme raus....hat vielleicht nochmal jemand einen Tip?
25.11.2009, 23:26	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist glaub ich einfacher zu zeigen $\begin{eqnarray} g \ ist \ bijektiv <=>\ g \ ist \ injektiv \ und \ surjektiv \end{eqnarray}$
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26.11.2009, 10:18	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ok dann versuche ich das mal, obwohl uns eigentlich der Tip gegeben wurde uns den Imaginärteil in g(z) anzuschauen, dann würden wir auf die Lösung kommen.
26.11.2009, 11:24	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also ich habe ad-bc>0 und will zeigen, dass g bijektiv, also injektiv und surjektiv ist. g injektiv $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow( g(z)=g(z') \Rightarrow z= z') \end{eqnarray}$ Also Annahme g(z)=g(z'): $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{az+b}{cz+b} = \frac{az'+b}{cz'+b} \end{eqnarray}$ Nach Umformung erhalten wir: $\begin{eqnarray} adz+bcz'=adz'+bcz \end{eqnarray}$ Kann man daraus nun schließen, dass z=z' gilt? EDIT: Ok, einen Schritt noch $\begin{eqnarray} z(ad-bc)=z'(ad-bc) \end{eqnarray}$ Nun teilen wir durch ad-c und erhalten z=z'
26.11.2009, 11:50	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmmm und wie zeige ich die Surjektivität? Also surjektiv heißt ja es gibt zu jedem Element h' aus H ein Element h aus H mit f(h)=h'. Aber wie kann man das hier zeigen?
26.11.2009, 15:13	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie muss ich ja darauf kommen, dass der Nenner von g(z) niemals null werden kann. Und da kann ich wahrscheinlich mit ad-bc>0 argumentieren, aber ich bekomme den Ausdruck irgendwie nicht so umgeformt, dass das ersichtlich wird. Oder ist das nicht der Weg?
26.11.2009, 19:27	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Möbius-Transormation Hat nicht noch jemand einen Tip für mich? Wär echt super...
26.11.2009, 20:50	jacko	Auf diesen Beitrag antworten »
"=>" Diese Richtung zeigst du doch indem du davon ausgehst, dass die Abbildung bijektiv ist, d.h. es gilt h (g (z)) = z wenn du da nun g und h einsetzt kommst du zum schluss auf einen Bruch wo im Zähler: "daz - bcz" steht und im Nenner: "ad - bc" und damit muss ja der Nenner größer null sein also haste diese Richtung schonmal gezeigt. Und die andere Richtung könnte man eigtl analog machen indem man die Schritte genau andersrum macht. mfg PS: Surjektivität und Injektivität zeigen ist viel zu kompliziert hier, es reicht wenn man gleich die bijektivität zeigt
26.11.2009, 21:43	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ok, danke. Aber trotzdem auch rein aus Interesse, wie würde denn der Ansatz für die Surjektivität sein?
27.11.2009, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i}y \in H \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} y>0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} w = \frac{az + b}{cz + d} \in H \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{Im}(w) > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( w - \bar{w} \right) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \frac{az + b}{cz + d} - \frac{a \bar{z} + b}{c \bar{z} + d} \right) > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \ldots \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + c^2 y^2} > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ ad - bc > 0 \end{eqnarray}$

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