Extrema & Sattelpunkte von f(x,y) |
| 25.11.2009, 22:33 | syra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extrema & Sattelpunkte von f(x,y) Ich muss einige Bsp lösen und bei dem komme ich nicht weiter: "Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) im angegebenen Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist. f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 ? 2*(x^2 ? y^2)" Ich habe jetzt die partielle Ableitung zweiter Ordnung gemacht (keine Ahnung ob sie passen) fxx = 12x^2 + 4y^2 - 4 fyy = 4x^2 + 12y^2 + 4 fxy=fyx = 8xy Nur jetzt weiß ich nicht weiter. Ich weiß ich muss die Extrema/Sattelpunkte mit der Hesse-Matrix berechnen, aber ich weiß nicht wie. Kann mir jemand helfen? mfg |
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| 25.11.2009, 22:45 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extrema & Sattelpunkte von f(x,y)
Ich weiss nicht, was genau die Aufgabenstellung ist... Wenn es darum geht, in deiner Angabe dort wo Fragezeichen stehen, Operationssymbole so einzusetzen, sodass damit dann die angegebenen zweiten Ableitungen stimmen, so kann ich glaub ich helfen... Die Funktion muss dann nämlich lauten f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - 2*(x^2 - y^2)" |
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| 25.11.2009, 23:03 | syra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh, tut mir leid... das kommt davon wenn man die angabe kopiert und einfügt... die angabe lautet, wie du schon richtig geschrieben hast, f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - 2*(x^2 - y^2) |
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| 25.11.2009, 23:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha, aber fehlen da nicht die ersten Ableitungen nach x und y? Ich glaub mich dunkel erinnern zu können, dass deren Verschwinden notwendige Bedingungen für Extrema dastellen und man erst dann mit der Hessematrix die Sattelpunkte "aussortiert"... |
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| 25.11.2009, 23:23 | syra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja die hab ich auch gemacht 
fx = 4x^3 + 4xy^2 - 4x fy = 4x^2y + 4y^3 + 4y |
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| 25.11.2009, 23:35 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und was schließt du z.B. aus fy= 4y(x^2+y^2+1) = 0 ? |
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| 25.11.2009, 23:41 | syra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tja... das weiß ich eben nicht wie ich da weiter machen soll. |
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| 25.11.2009, 23:44 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie wär's mit Kürzen? Schließlich kann ja der Klammerausdruck nie 0 werden... Edit: Ich sehe jedenfalls nicht sehr viel Sinn darin, die Hessematrix ins Spiel zu bringen, bevor du den Kreis der "Kandidaten" für Extrema nicht auf einige wenige Punkte eingeschränkt hast... Diese Kandidaten befinden sich aber unter den Lösungen von fx=fy=0 d.h., unter den Punkten mit waagrechter Tangentialebene... |
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| 26.11.2009, 09:21 | syra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab schon die Lösung. es ist jetzt -16 bei der hesse-matrix raus gekommen wonach ich schließe dass sie indefinit aufgrund von fxx<0 und det(H)<O. Somit kein rel. Extrema |
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| 26.11.2009, 13:32 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm hm, also aus deiner Antwort werde ich so gar nicht schlau... 
Dass sie überdies total falsch ist, versteht sich ja wohl von selbst, aber das jetzt nur als Bemerkung am Rande...Wie kann eine Matrix einen Wert, in diesem Fall -16 haben??? Was sind übrigens die Punkte mit waagrechter Tangentialebene (im Fachjargon auch stationäre Punkte genannt), die du rausbekommen hast? |
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