26.11.2009, 12:52 |
tigerbine |
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[Artikel] Untervektorraum
Da die Frage immer wieder auftritt, wie man prüft, ob eine Teilmenge U eines Vektorraums V einen Unterraum bildet, sei hier ein Beispiel vorgerechnet. Das Prinzip ist immer das gleiche. Man darf, da die Elemente der Menge in V liegen, die Vektorraumaxiome benutzen. Für einen UVR muss man 3 Dinge prüfen:
- U ist nichtleer
- U ist abgeschlossen bzgl. der Addition
- U ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation
Bei 1 bietet es sich immer an, zu prüfen ob der Nullvektor enthalten ist. Ist das nicht der Fall, wird U kein UVR sein. Man wird bei 2 oder 3 ein Gegenbeipiel finden. Zur Überprüfung von 2 und 3muss man die Definition der Menge U benutzen. Ein Beispiel:
Zitat: |
Die Menge der Lösungen eines LGS UVR bilden genau dann wenn das LGS homogen ist. |
- Sei das LGS homogen, d.h. Ax=0. Es ist x=0 sicherlich eine Lösung, U also nicht leer. Seien nun x und y Lösungen des hom. LGS. Dann folgt für deren Summe x+y:
Für Skalare Vielfache eines Vektors x aus U erhält man:
Somit ist U ein UVR von V.
- Sei das LGS inhomogen, d.h. Ax=b mit b ungleich 0. Hier können wir an verschiedenen Punkten scheitern. Zunächst einmal muss das LGS nun keine Lösung mehr besitzen., b liegt also nicht im Bild von A. Sei nun die Lösungsmenge nicht leer und x und y zwei Lösungen. Dann folgt für deren Summe:
Und somit liegt (x+y) nicht wieder in der Lösungsmenge des LGS. U bildet in diesem Fall keinen UVR.
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