Fraktale Julia-Mengen

26.11.2009, 14:52

watzi

Fraktale Julia-Mengen

Hallo,

ich schreibe eine Facharbeit zum Thema Fraktale. Das Prinzip, wie diese entstehen, habe ich, glaub ich verstanden: Man zählt die Iterationsschritte n für z(n) = z(n-1) + c von einem vorgegebenen Anfangswert z(0) bis der Betrag von z(n) größer als 2 ist. Entsprechend der Zahl der Iterationsschritte wird der Punkt dann in einer bestimmten Farbe eingefärbt.
Soweit, sogut...

Aber wie kommt man zu der Formel z = z + c ?
Die Überlegung, die zu der Formel geführt hat, müsste doch eigentlich
z^2 - z + c = 0
gewesen sein oder? Denn ein Freistellen nach dem z in der Mitte, würde ja zu der Formel führen...

Wenn man zum Beispiel eine reelle Gleichung hat:
3x^2 + 2x + 4 = 0
Löst man die dann nach dem x von den 2x auf, um weiterzurechnen?

Falls das jetzt etwas verwirrend war...was ich nicht verstehe ist, wie man zu den Gleichungen für die Fraktale kommt...

26.11.2009, 15:18

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Zitat:

Original von watzi
Man zählt die Iterationsschritte n für z(n) = z(n-1) + c von einem vorgegebenen Anfangswert z(0) bis der Betrag von z(n) größer als 2 ist.

Richtig - mit Ausnahme, dass in deiner Iterationsgleichung ein Quadrat fehlt:

$\begin{eqnarray*} z_n = z_{n-1}^2 + c \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 19:52

watzi

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Oh, ja, das hab ich vergessen...natürlich heißt es z(n) = z(n-1)^2 + c
Aber wie kommt man zu der Gleichung?

26.11.2009, 20:00

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Wie soll man denn schon darauf kommen? Die hat irgendjemand (Mandelbrot? keine Ahnung, wer der erste war) mal auf dem Computer ausprobiert und gesehen, dass da ganz nette Bilder rauskommen. Unter den unzähligen Varianten solcher Rekursionen ist das eben noch eine der einfachsten.

26.11.2009, 20:05

watzi

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mein lehrer meinte aber heute irgendwas von wegen, dass man zum beispiel die gleichung 3x^2 + 2x + 4 = 0 nach dem x von den 2x auflösen könnte und dann da irgendwie weiterrechnen würde...das hab ich nicht so ganz verstanden...

26.11.2009, 20:37

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Mir ist jetzt nicht so ganz klar, in welchem Zusammenhang zu

$\begin{eqnarray*} z_n = z_{n-1}^2 + c \qquad (*) \end{eqnarray*}$

du jetzt diese andere Gleichung betrachtest? Willst du Fixpunkte der Rekursion (*) berechnen, oder was sonst? verwirrt

26.11.2009, 20:49

watzi

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die beiden gleichungen haben ja in prinzip die gleiche form:
0 = z^2 - z + c
0 = 3x^2 + 2x + 4
und nach dem auflösen:
z = z^2 + c
x = (-3x^2 - 4) / 2 = -1,5x^2 - 2

ist das irgendwie die herleitung für die formel z(n) = z(n-1)^2 + c ?

die formel für zum beispiel das newtonsche iterationsverfahren kann man ja auch einfach herleiten...geht das hier nicht auch?

26.11.2009, 20:59

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$\begin{eqnarray*} z_n = z_{n-1}^2 + c \end{eqnarray*}$ ist keine Gleichung, sondern eine Rekursionsvorschrift - deshalb ja meine Frage nach den Fixpunkten. So ganz scheinst du dir noch nicht im klaren, was du da warum tust. verwirrt

26.11.2009, 21:07

watzi

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mit fixpunkten hab ich mich in dem zusammenhabg noch nicht beschäftigt...
kann man denn die rekursionsvorschrift gar nicht herleiten?
bei dem interationsverfahren nach newton gibt es ja eine klare herleitung, die die gleichung so umstellt, dass am ende die iterationsvorschrift rauskommt.

26.11.2009, 21:20

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Tut mir leid, im Gegensatz zum angesprochenen Newton-Verfahren kenne ich nicht die Grundannahmen, aus denen du hier diese Rekursion herleiten willst, und so richtig ergiebig waren deine Äußerungen in der Hinsicht auch nicht. Da musst du auf jemand warten, der sich mit Fraktalen so gut auskennt und weiß, worauf du hinauswillst. Wink

26.11.2009, 21:22

watzi

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ok...
trotzdem danke Wink

27.11.2009, 06:01

Iridium

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Hi,

Meiner Meinung nach ist deine Rekursion nicht aus einer anderen Gleichung herleitbar, sondern so definiert.

Trotzdem kann man vielleicht etwas zur Motivation sagen, warum die Rekursion so ausschaut und nicht anders. Der erste Schritt besteht ja aus dem Quadrieren einer komplexen Zahl. Nun kann man aber die Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch interpretieren. Einer komplexen Zahl entspricht ein Vektor in der Gaußschen Zahlenebene. Multipliziert man eine komplexe Zahl mit einer anderen, dann führt man eine geometrische Transformation entsprechend einer Drehstreckung durch. Ist die komplexe Zahl vom Betrag 1 dann ist es nur eine Drehung mit dem Endpunkt des Vektors auf dem Einheitskreis liegend. Im Fall des Quadrierens verdoppelt sich der Winkel. Wenn der Startwinkel in einem irrationalen Verhältnis zu $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ steht, dann erreicht man nie mehr den exakten Ausgangspunkt, das Verhalten ist chaotisch, wenn man das Ganze modulo einer vollen Kreisumdrehung betrachtet (in dem genannten Fall betrachtet man nur das Quadrieren, d.h. c=0).

Ähnliche Rekursionen gibt es viele....z.B. ist die logistische Gleichung eine solche. Die Bernoulli Abbildung entspricht deinem Fall für c=0 und wie oben beschrieben. Interessant ist auch die cat map...dort sieht man, welchen geometrischen Effekt die Transformation eigentlich hat. Das Ganze hat zwar weniger mit Fraktalen zu tun, aber viel mit Chaos, steht also in einem ähnlichen Kontext.

http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

http://en.wikipedia.org/wiki/Arnold's_cat_map

http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Abbildung

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chaotic_maps

Für die Rekursionsformel der logistischen Gleichung bzw. Abbildung gibt es übrigens eine naturwissenschaftlich motivierte Herleitung in deinem Sinne.

Vielleicht nützt dir das ja was, für deine Facharbeit...

Gruß

28.11.2009, 16:16

watzi

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Hallo,

danke für die ausführliche Antwort! smile

Ich weiß aber nicht, ob ich das alles auch richtig verstanden habe.
Die Multiplikation einer komplexen Zahl müsste doch dann geometrisch so aussehen:

Man hat die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} -3+0,2i \end{eqnarray*}$

So hat die Zahl die Koordinaten (-3/0,2).
Nach dem Quadrieren
$\begin{eqnarray*} (-3+0,2i)² = 9-6*0,2i-0,04 = 8,96-1,2i \end{eqnarray*}$
hat man dann die Koordinaten (8,96/-1,2).
Hab ich das so richtig verstanden oder meinstest du was anderes mit der Drehstreckung?

Und noch eine Frage...was bedeutet

Zitat:

Wenn der Startwinkel in einem irrationalen Verhältnis zu $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ steht

29.11.2009, 03:16

Iridium

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Zitat:

Original von watzi
Hab ich das so richtig verstanden oder meinstest du was anderes mit der Drehstreckung?

Ich denke schon, daß du das richtig verstanden hast. Man erkennt es besser, wenn man die komplexen Zahlen in der Exponentialform schreibt (d.h. in Polarkoordinaten)
$\begin{eqnarray*} z = r e^{i \phi} \end{eqnarray*}$
dann ist die Multiplikation nämlich durch
$\begin{eqnarray*} z_{1} z_{2} = r_{1} e^{i \phi_{1}} r_{2} e^{i \phi_{2}} = r_{1}r_{2} e^{i (\phi_{1} + \phi_{2})} \end{eqnarray*}$
gegeben. r ist dabei der Abstand vom Ursprung (der Betrag), $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der Drehwinkel relativ zur x-Achse (gegen den Uhrzeigersinn). Die Multiplikation dreht also den Vektor (durch die Addition der Winkel) und verlängert ihn (durch die Multiplikation der Beträge).

Zitat:

Original von watzi
Und noch eine Frage...was bedeutet

Zitat:

Wenn der Startwinkel in einem irrationalen Verhältnis zu $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ steht

$\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ bezeichnet einfach nur den Vollwinkel im Kreis (= 360°). Wenn das Verhältnis zwischen dem Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der komplexen Zahl und dem Vollwinkel irrational ist, dann kann ich noch so oft Quadrieren (d.h. den Winkel verdoppeln), ohne jemals wieder den Ausgangspunkt zu erreichen. Oder andersrum, mein Ergebnis nach jedem Quadrierungsschritt geteilt durch $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ läßt immer einen Rest.

11.12.2009, 14:33

watzi

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Hallo,

danke für die Antwort! Das hat mich schon mal ein gutes Stück weiter gebracht =)

Allerdings stehe ich jetzt auch schon vor dem nächsten Problem: Was sind die Bedingungen für Konvergenz oder Divergenz? Also wie müssen bei
$\begin{eqnarray*} z_n = z_{n-1}^2 + c \end{eqnarray*}$
der Startwert z und die Konstante c gewählt sein?
Das einzige, was ich zu allgemeinen Iterationsverfahren gefunden habe, ist, dass der Limes nicht gegen unendlich gehen darf, wenn es konvergieren soll.

LG

12.12.2009, 03:22

Iridium

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Hi,

Ich bin auf dem Gebiet selbst nicht super sicher, aber qualitativ kann über Konvergenz und Divergenz entschieden werden, wenn ich zwei eng beieinander liegende Startwerte nehme und mir das Verhalten mit fortschreitender Iteration anschaue. Wenn sich die Werte wenig auseinanderentwickeln, d.h. meinetwegen die 100., 1000., x. Iteration in beiden Fällen noch gut übereinstimmt, dann konvergiert das Ganze, anderenfalls divergiert es. Es gibt da glaub ich einen Zusammenhang mit dem Lyapunov Exponenten???

Wie man daraus umgekehrt aber Bedingungen für den Startwert bzw. andere frei wählbare Parameter ableitet, weiß ich auch nicht. Es könnte halt höchstens so sein, daß für c, ähnlich wie im Feigenbaum Szenario, jeweils bestimmte Wertebereiche das Verhalten bestimmen. Genaueres findet man aber dann eher in einem Fachbuch, das deinen Fall behandelt. Das müsste es doch eigentlich geben, denn so komplex ist der Fall ja noch nicht (zumindest gleichungstechnisch).

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