Erzeugendensystem

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Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem
Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Geben Sie sämtliche Teilmengen von

{, }

an, die ein Erzeugendensystem von bilden.




Mein Lösungsansatz:
ich habe jetzt jeweils überprüft, ob zwei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden
also 10 verschiedene Berechnungen.

z.B. . Da das Gleichungssystem lösbar ist, existiert ein Erzeugendensystem.

Nun soll ich ja alle Teilmengen angeben --> wenn zwei ein Erzeugendensystem bilden kann ich beliegig viele Vektoren hinzufügen und es ergibt wieder ein Erzeugendensystem.

Ich erhalte bei allen Kombinationen ein Erzeugendensystem, außer:
mit

und

mit

Ist mein Herangehen so richtig??
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von Mia9
[...] wenn zwei ein Erzeugendensysteme bilden kann ich beliegig viele Vektoren hinzufügen und es ergibt wieder ein Erzeugendensystem. [...]

Das ist auf jeden Fall richtig.

Aber neben den beiden, die du genannt hast, gibt es auch noch noch weitere Teilmengen, die kein Erzeugendensystem bilden.
Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »

bei mit

habe ich auch keine eindeutige Lösung heraus - also gibt es kein Erezugendensystem. Aber ansonsten konnte ich die Gleichungssysteme immer lösen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, jede Teilmenge deiner Menge, die aus genau zwei Elementen besteht und enthält, ist zwangsläufig kein Erzeugendensystem des , weil ein minimales Erzeugendensystem des aus zwei linear unabhängigen Elementen des besteht. Und mit kannst du nichts erzeugen. Das sind schon mal vier Teilmengen von den zehn, die du untersucht hast.
Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »

du hast geschrieben: "ein minimales Erzeugendensystem des aus zwei linear unabhängigen Elementen des besteht"

aber die 2 Vektoren sind doch immer linear abhängig zueinander. schließlich sind die berechneten Faktoren ungleich 0.


Also müsste ich nun als Lösung 11 verschiedene Teilmengen angeben. Das ist doch jetzt richtig?!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mia9
aber die 2 Vektoren sind doch immer linear abhängig zueinander. schließlich sind die berechneten Faktoren ungleich 0.

Langsam, welche zwei Vektoren sind immer linear abhängig? Und welche berechneten Faktoren sind ungleich 0?

Du hast doch bisher nichts falsch gemacht. Du hast richtig erkannt, dass du für ein Erzeugendensystem des mindestens zwei Elemente aus deiner Menge brauchst. Und es gibt insgesamt 10 verschiedene Teilmengen, die aus genau 2 Elementen deiner Menge bestehen. Auch das war noch richtig. Und wieviele, bzw. welche von den zehn Teilmengen sind nun ein Erzeugendensystem des ?
 
 
Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »

die errechneten sind meist von dem jeweiligen u abhängig.
In manchen gleichungen gilt dann: wenn u =o kann folgen dass auch ein gleich 0.
und sind ungleich null. somit sie die zwei vektoren die ich in das Gleichungssystem eingesetzt habe linear abhängig.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nur ich den Eindruck, dass wir uns eher zur Seite hin entwickeln, anstatt vorwärts? Augenzwinkern

Hier diese vier Teilmengen, die aus genau zwei Elementen bestehen, bilden kein Erzeugendensystem des :






Ist dir klar, warum? Und dann gibt es noch sechs andere, richtig? Das sind die sechs minimalen Erzeugendensystem des aus deiner Menge oben. Und diese kannst du, wie du gleich zu Beginn richtig gesagt hast, beliebig mit Elementen aus deiner Menge erweitern, sie bleiben immer noch Erzeugendensysteme. Mehr verlangt diese Aufgabe nicht von dir.
Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, das weiß ich doch, du hattest mich irgendwie nur verwirrt...

und die verschiedenen kombinationen der vektoren(außer mit )schreibe ich jetzt noch auf - 11 Stück an der Zahl.

DANKE.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
11 Kombinationen sind es nur, wenn du das Element nun komplett weglässt, aber das darfst du natürlich nicht. Es ist ja auch in deiner Menge enthalten.



ist sicher ein Erzeugendensystem. Was ist nun hiermit:



ist doch auch ein Erzeugendensystem. Das Element erzeugt zwar nichts, aber als "überschüssigen Müll" kannst du es ja dennoch mit reinnehmen. Also sind es noch ein paar mehr als nur 11 Teilmengen, die ein Erzeugendensystem bilden.
Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also kommt das noch hinzu und so komme ich auf 20 Teilmengen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Du kamst vorher auf genau 11 Teilmengen, komplett ohne das Element (0,0). Du kannst doch nun in jede dieser 11 Teilmengen zusätzlich das Element (0,0) einfügen und so eine neue, zusätzliche Teilmenge "erschaffen". Das sind dann doch mehr als 20.
Mia9 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, zugegeben ich habe 2 übersehen. Trotzdem komme ich nur auf 22.

ich habe jetzt 6 Teilmengen á 2 Elemente
10 Teilmengen á 3 Elemente
5 Teilmengen á 4 Elemente
1 Teilmenge á 5 Elemente.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Das sind dann doch mehr als 20.


Zitat:
Original von Mia9
Trotzdem komme ich nur auf 22.


Ich auch. smile

Aber es ist ja ( Augenzwinkern ).
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