vollst. Orthonomalsystem und Beschränktheit

26.11.2009, 18:56

Seren

vollst. Orthonomalsystem und Beschränktheit

Hiho,
ich habe Probleme mit folgenden Aufgaben, und würde mich über Hilfe sehr freuen

1. Im Hilbertraum $\begin{eqnarray*} L^2 [-1,1] \end{eqnarray*}$ bestimmte man mit dem schmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis zum Funktionensystem $\begin{eqnarray*} \{ f_i(x)=x^i ,i=1,2..\} \end{eqnarray*}$

2. Sei $\begin{eqnarray*} X:=\{x_i,i \in I\} \end{eqnarray*}$ eine Menge von Vektoren im Hilbertraum $\begin{eqnarray*} (V,<\ >) \end{eqnarray*}$ . Desweiteren sei die Menge $\begin{eqnarray*} \{ <x_i,y>,i\in I\} \end{eqnarray*}$ beschränkt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \forall y\in V\ \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie: Die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist beschränkt.

Zu 1.
Ich habe mir also das Verfahren genommen und "einfach" eingesetzt, habe bis zum 3. Basisvektor gerechnet und sehe keine Regelmäßigkeit. Was nu?
Desweiteren fiel das Stichwort "Legendre Polynome" - habe es gegoogelt, aber nichts brauchbares gefunden.

Zu 2.
Banach-Steinhaus. Der Beweis ist aber zu kompliziert und ihn abzupinseln ist keine Kunst, meinte mein HiWi. Es gäbe da einen schönen Spezialfall, der genau dieses Problem betrachtet. Aber ich habe wieder kein Glück und werde nicht fündig. Gibts da irgendwelche Alternativen?

Ich freue mich über Posts

Seren

26.11.2009, 20:18

Abakus

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RE: vollst. Orthonomalsystem und Beschränktheit

Zitat:

Original von Seren
Zu 1.
Ich habe mir also das Verfahren genommen und "einfach" eingesetzt, habe bis zum 3. Basisvektor gerechnet und sehe keine Regelmäßigkeit. Was nu?
Desweiteren fiel das Stichwort "Legendre Polynome" - habe es gegoogelt, aber nichts brauchbares gefunden.

Weiterrechnen, vielleicht findest du ja zumindest eine Rekursionsformel oder so?

Zitat:

Zu 2.
Banach-Steinhaus. Der Beweis ist aber zu kompliziert und ihn abzupinseln ist keine Kunst, meinte mein HiWi. Es gäbe da einen schönen Spezialfall, der genau dieses Problem betrachtet. Aber ich habe wieder kein Glück und werde nicht fündig. Gibts da irgendwelche Alternativen?

Sagt mir sehr wenig. Was wäre, wenn du einfach $\begin{eqnarray*} y=x_i \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Grüße Abakus smile

26.11.2009, 20:24

Seren

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RE: vollst. Orthonomalsystem und Beschränktheit

Zitat:

Original von Abakus
Weiterrechnen, vielleicht findest du ja zumindest eine Rekursionsformel oder so?

Also irgendwie ergeben sich nur irgendwelche ekeligen Wurzelterme, in denen ich leider überhaupt keine Formel erkennen kann

Zitat:

Original von Abakus

Sagt mir sehr wenig. Was wäre, wenn du einfach $\begin{eqnarray*} y=x_i \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Grüße Abakus smile

Der Hiwi meinte das wäre zu einfach bzw. dass das nicht die Aussage ist, die wir beweisen sollen. So wie ich das verstanden habe, müssen wir zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gibt für alle $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray*} ||x_i|| \leq c \forall x_i , i\in I \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 21:02

Abakus

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RE: vollst. Orthonomalsystem und Beschränktheit

Zitat:

Original von Seren
Also irgendwie ergeben sich nur irgendwelche ekeligen Wurzelterme, in denen ich leider überhaupt keine Formel erkennen kann

Zeig mal, was du gerechnet hast. Ansonsten lässt sich da wenig sagen.

Zitat:

Das müsste man dann auch erstmal verstehen: setzen wir mal $\begin{eqnarray*} y=x_i \end{eqnarray*}$ jeweils ein. Dann ist insbesondere die Menge $\begin{eqnarray*} \{ <x_i, x_i>~:~ i \in I \} \end{eqnarray*}$ beschränkt. Das noch auf die Norm zu übertragen und zu schließen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, ist eigentlich unproblematisch.

Dabei habe ich natürlich angenommen, dass $\begin{eqnarray*} X \subseteq V \end{eqnarray*}$ gilt, ist das so?

Grüße Abakus smile

26.11.2009, 21:16

Seren

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Ich fang mal mit der 2 an:

Setze $\begin{eqnarray*} y=x_i \end{eqnarray*}$ , somit ergibt sich, dass $\begin{eqnarray*} \{ <x_i,x_i> = ||x_i||^2, i\in I \} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists c_i : ||x_i||^2 \leq c_i \end{eqnarray*}$ . Dann gilt aber insbesondere $\begin{eqnarray*} ||x_i|| \leq c_i \end{eqnarray*}$ . Betrachte $\begin{eqnarray*} c:=sup\{c_i | i\in I\} \end{eqnarray*}$ als größte Beschränkung der Normen.
=> $\begin{eqnarray*} \exists c: ||x_i|| \leq c \forall i\in I \end{eqnarray*}$
=> X ist beschränkt.

26.11.2009, 21:44

Seren

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1.

Hier habe ich gemerkt, dass die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ von 0 anfangen .. also los gehts:

$\begin{eqnarray*} v_0 = \frac{1}{||1||} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'_1 = x-<x,1>\cdot 1 = x - \int_{-1}^1 x\cdot 1\ dx = x- [\frac{x^2}{2}]_{-1}^1 =x-0 = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{v'_1}{||v'_1||} = \frac{x}{||x||} = \frac{x}{\sqrt{\int_{-1}^1 x^2\ dx}} =\frac{x}{\sqrt{[\frac{x^3}{3}]_{-1}^1}}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt3x}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'_2 = x^2 - <x^2,1>\cdot 1 - <x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x>\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}x = x^2 - \int_{-1}^1 x^2\ dx = x^2 - ([\frac{x^3}{3}]_{-1}^1)\cdot = x^2 - \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 23:12

Abakus

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Zitat:

Original von Seren
Setze $\begin{eqnarray*} y=x_i \end{eqnarray*}$ , somit ergibt sich, dass $\begin{eqnarray*} \{ <x_i,x_i> = ||x_i||^2, i\in I \} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists c_i : ||x_i||^2 \leq c_i \end{eqnarray*}$ . Dann gilt aber insbesondere $\begin{eqnarray*} ||x_i|| \leq c_i \end{eqnarray*}$ . Betrachte $\begin{eqnarray*} c:=sup\{c_i | i\in I\} \end{eqnarray*}$ als größte Beschränkung der Normen.
=> $\begin{eqnarray*} \exists c: ||x_i|| \leq c \forall i\in I \end{eqnarray*}$
=> X ist beschränkt.

Ja, genau. Bloß das ist irgendwie zu einfach. Am Besten versuchst du, die Aufgabenstellung nochmal abzuklären.

Zitat:

1. Hier habe ich gemerkt, dass die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ von 0 anfangen .. also los gehts: $\begin{eqnarray*} v_0 = \frac{1}{||1||} = 1 \end{eqnarray*}$

Die Norm ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ hier.

Die Aufgabe oben sagt aber auch, dass du mit x anfangen sollst: auch hier ist erstmal die Aufgabenstellung abzuklären. Wichtig wäre ebenfalls zu wissen, ob du vom richtigen Skalarprodukt ausgehst.

Grüße Abakus smile

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