Äquivalenzklassen und Mengen

26.11.2009, 19:08	mene	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen und Mengen Hey Leute, hab da mal ne frage Die Aufgabe ist: Es seinen M, N Mengen und f:M ? N eine surjektive Abbildung. Wir definieren eine Relation auf M: a~b: ? f(a)=f(b) a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist. (Das habe ich schon bewiesen) Nun meine Frage: b) Die Klassenteilung M/~: {[a] mit a?M} ist ja selbst wieder eine Menge. Zeigen Sie, dass im Fall, dass N endlich ist, gilt: \|M/~\|=\|N\| Wie muss ich da ran gehen? Ein Ansatz wäre super! Danke!
26.11.2009, 19:12	mene	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklassen und Mengen ach, die Fragezeichen dort sind falsch das erste ist ein äquivalenzzeichen und das zweite ist a Element aus M
26.11.2009, 19:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zwei Mengen $\begin{eqnarray} M/ \end{eqnarray}$ ~ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ sind gleichmächtig genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} \overline f : M/ \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} \to N \end{eqnarray}$ gibt. Die Konstruktion einer solchen Abbildung ist offensichtlich. Dann mußt du nur noch zeigen, dass sie wohldefiniert, injektiv und surjektiv ist. Dürfte alles kein Problem sein.
26.11.2009, 19:33	mene	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Hätte nicht damit gerechnet Ich werde es versuchen... hab da noch ne frage: gibt es eine Abbildung g: von N nach M/~ ? LG
29.11.2009, 12:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, die Umkehrabbildung von f ist eine, und jede beliebige andere Abbildung.
29.11.2009, 13:22	mene	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, das hab ich mir auch schon gedacht, da f ja bijektiv ist, ist das eine umkehrabbildung von f oder? aber wie zeige/ konstruiere ich denn eine bijektive abbildung? lg
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29.11.2009, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, meine Antworten waren wohl doch nicht so erhellend, wie ich dachte. Ich habe mal geschrieben "Die Konstruktion einer solchen Abbildung ist offensichtlich." Das ist aber wohl nur für mich so, und nicht für dich. Dann erklär ich's mal. Wir haben die Mengen $\begin{eqnarray} M, M/ \end{eqnarray}$ ~, $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , die Äquivalenzrelation ~ und die surjektive Abbildung $\begin{eqnarray} f:M\to N \end{eqnarray}$ . Das absolut einzig Sinnvolle was man damit machen kann ist die Abbildung $\begin{eqnarray} \overline f :M/ \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} \to N, \overline f([a]):=f(a) \end{eqnarray}$ . Wennn man dann noch zeigt, dass das eine sinnvolle Definition ist ("wohldefiniert") und diese Abbildung $\begin{eqnarray} \overline f \end{eqnarray}$ bijektiv ist, hat man eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} M/ \end{eqnarray}$ ~ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , also sind diese gleichmächtig.

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