Konvergenz von Reihen

26.11.2009, 19:11

Zahnwurzel

Konvergenz von Reihen

Hallo.

Ich habe Probleme, die folgenden Reihen auf Konvergenz zu untersuchen.

u:= "unendlich"

$\begin{eqnarray*} S_1 := \sum_{n=1}^u~ (\frac{n^2}{2^n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2 := \sum_{n=1}^u~ (\frac{3n+1}{4n})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3 := \sum_{n=1}^u~ (\frac{1}{\sqrt[3]{n}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_4 := \sum_{n=1}^u~ (\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$

Ich habe schon Probleme, die Konvergenz der Folgen zu untersuchen.
Ein paar Tipps wären super.
Und kann mir jemand das Wurzelkriterium erklären?

Danke!

26.11.2009, 20:10

Abakus

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RE: Konvergenz von Reihen
Hallo!

Kannst du zB das Wurzel- oder Quotientenkriterium erstmal angeben? Was besagt es?

Grüße Abakus smile

26.11.2009, 20:17

Kühlkiste

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RE: Konvergenz von Reihen
1. Quotientenkriterium!

2. Eine geeignete geom. Reihe als konverg. Majorante hilft hier.

3. Eine bekannte Reihe kann hier als divergente Minorante dienen.

4. Leibnitz-Kriterium!

26.11.2009, 20:34

Zahnwurzel

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Abakus:

Das Wurzelkriterium.. ich weiß es nicht! Wir hatten das nicht in der Vorlesung, einige aber in ihren Übungsgruppen. Wir dürfen das für die Aufgaben verwenden, aber niemand konnte mir das erklären.

Quotientenkriterium kann ich. Nur die Anwendung fällt noch schwer.

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_k+1}{a_k} | < p < 1 \Rightarrow die Reihe konvergiert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_k+1}{a_k} | > q > 1 \Rightarrow die Reihe divergiert \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 21:05

Zahnwurzel

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Wie mache ich 2^(n+1) mit latex?

Hab' ein paar Schritte ausgelassen (Latex ist nicht einfach), es sollte aber klar sein, was ich mache.

1) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2*2^n*2}{2^n * (n^2 + 2n +1) } = \frac{2n^2}{n^2 + 2n +1} = \frac{2}{1 + 2/n +1/n^2 } ---> 2 > 1 \Rightarrow Divergenz \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ als divergene Minorante (da n >= 1)? Und daraus kann ich einfach folgern, dass die Reihe divergiert?

4) Hm, es fällt mir schwer zu zeigen, dass 1/wurzel(n) eine monoton fallende Nullfolge ist (anschaulich ist das klar). Das vorausgesetzt folgt, dass die Reihe konvergiert.

Ist das richtig?

zu 2) Meine Idee wäre $\begin{eqnarray*} \frac{3n+n}{4n}^n = 1^n = 1 \end{eqnarray*}$

Aber der Betrag von 1 ist 1... also hilft mir das nicht weiter.

26.11.2009, 21:07

Zahnwurzel

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Entschuldigt bitte die Mehrfachposts, ich glaube, ich werde mir einen Account anlegen.

Ich meine natürlich:

zu 2) Meine Idee wäre $\begin{eqnarray*} (\frac{3n+n}{4n})^n = 1^n = 1 \end{eqnarray*}$

Aber der Betrag von 1 ist 1... also hilft mir das nicht weiter.

26.11.2009, 21:49

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Zahnwurzel
Wie mache ich 2^(n+1) mit latex?

2^{n+1}

Zitat:

Original von Zahnwurzel
Hab' ein paar Schritte ausgelassen (Latex ist nicht einfach), es sollte aber klar sein, was ich mache.

1) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2*2^n*2}{2^n * (n^2 + 2n +1) } = \frac{2n^2}{n^2 + 2n +1} = \frac{2}{1 + 2/n +1/n^2 } ---> 2 > 1 \Rightarrow Divergenz \end{eqnarray*}$

Du hast:
$\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{n^2}{2^n}. \end{eqnarray*}$

Jetzt berechne mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ und guck ob Du ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ findest, das den Ausdruck nach oben beschränkt

Zitat:

Original von Zahnwurzel
3) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ als divergene Minorante (da n >= 1)? Und daraus kann ich einfach folgern, dass die Reihe divergiert?

Ja, so ist das mit den divergenten Minoranten.
Du musst nur noch zeigen, dass die harm. Reihe eine solche ist.

Zitat:

Original von Zahnwurzel
4) Hm, es fällt mir schwer zu zeigen, dass 1/wurzel(n) eine monoton fallende Nullfolge ist (anschaulich ist das klar). Das vorausgesetzt folgt, dass die Reihe konvergiert.

Ist das richtig?

Jawoll!
Was fällt denn da schwer?

Zitat:

Original von Zahnwurzel
zu 2) Meine Idee wäre $\begin{eqnarray*} \frac{3n+n}{4n}^n = 1^n = 1 \end{eqnarray*}$

Aber der Betrag von 1 ist 1... also hilft mir das nicht weiter.

Schlechte Idee, denn damit bekommst Du eine divergente Majorante - was in der Regel recht einfach aber auch wenig zielführend ist.
Besser wäre es mal die ersten paar Summanden außer Acht zu lassen und zu gucken ob sich

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+1}{4n}=\frac 34+\frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$

ab irgendeinem konkreten $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen lässt.

26.11.2009, 22:28

Zahnwurzel

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zu 1:

Oha, ich hab's falschrum gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n * (n^2 + 2n +1) }{n^2*2^{n+1}} = \frac{n^2 + 2n +1}{2n^2} = \frac{1 + 2/n +1/n^2 }{2} ---> \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < q < 1 \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Reihe.

Geht das so?

Das irritiert mich jetzt, da wir gesagt haben, dass, wenn die Reihe konvergiert, die Folge in der Reihe eine Nullfolge ist. Aber 1/2 ist doch nicht 0?

zu 3:

Wir haben in der Übungsgruppe gezeigt, dass die Reihe von 1/n ("Reihe von" - ist das richtig formuliert?) divergiert. Und dass 1/n kleiner als 1/n^(1/3) für n>=1 ist, ist doch klar? Hm, was genau muss ich zeigen. Oder: wie?

zu 4:

Was da schwer ist... tja, wenn ich das wüsste. Ich hab keine Ahung, wie ich das zeigen soll.

zu 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+1}{4n}=\frac 34+\frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$

ist doch ab n=2 kleinergleich 7/8. Also könnte ich 1>q=15/16>a_n für n>=2 wählen und als Majorante nehmen. Aber die müsste doch wieder divergieren, da sie keine Nullfolge ist? Kann ich 15/16 überhaupt Folge nennen?

Ich steh' auf'm Schlauch.

26.11.2009, 22:54

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Zahnwurzel
zu 1:

Oha, ich hab's falschrum gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n * (n^2 + 2n +1) }{n^2*2^{n+1}} = \frac{n^2 + 2n +1}{2n^2} = \frac{1 + 2/n +1/n^2 }{2} ---> \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < q < 1 \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Reihe.

Geht das so?

Das irritiert mich jetzt, da wir gesagt haben, dass, wenn die Reihe konvergiert, die Folge in der Reihe eine Nullfolge ist. Aber 1/2 ist doch nicht 0?

Der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ geht gegen $\begin{eqnarray*} \frac 12. \end{eqnarray*}$
Dann gibt es offensichtlich ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ so, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert die Reihe laut Quotientenkriterium und

insbesondere folgt damit, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Zitat:

Original von Zahnwurzel
zu 3:

Wir haben in der Übungsgruppe gezeigt, dass die Reihe von 1/n ("Reihe von" - ist das richtig formuliert?) divergiert. Und dass 1/n kleiner als 1/n^(1/3) für n>=1 ist, ist doch klar? Hm, was genau muss ich zeigen. Oder: wie?

Na ja, wenn das klar ist - gar nichts mehr, denn dann ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante und Deine Reihe somit ebenfalls divergent.

Zitat:

Original von Zahnwurzel
zu 4:

Was da schwer ist... tja, wenn ich das wüsste. Ich hab keine Ahung, wie ich das zeigen soll.

Zitat:

Original von Zahnwurzel
zu 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+1}{4n}=\frac 34+\frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$

ist doch ab n=2 kleinergleich 7/8. Also könnte ich 1>q=15/16>a_n für n>=2 wählen und als Majorante nehmen. Aber die müsste doch wieder divergieren, da sie keine Nullfolge ist? Kann ich 15/16 überhaupt Folge nennen?

Ich steh' auf'm Schlauch.

Es steht doch alles da, Du musst es nur richtig zusammensetzen.
Also, für alle $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+1}{4n}\leq\frac 78<1. \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \sum_n\left( \frac 78\right)^n \end{eqnarray*}$

ist eine konvergente geom. Reihe.

Was ist denn dann mit $\begin{eqnarray*} \sum_n \left( \frac{3n+1}{4n}\right)^n? \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 23:28

Zahnwurzel

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1) Ja, ok. Es ist ja der Quotient, der gegen 1/2 konvergiert. Hammer

4) Hm, werd's wohl einfach voraussetzen müssen. Ich hab echt keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.

2) Die Reihe ist damit auch konvergent. smile

Ich danke dir!

26.11.2009, 23:50

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Zahnwurzel
4) Hm, werd's wohl einfach voraussetzen müssen. Ich hab echt keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.

Das ist eigentlich nur Formalkram, da die Sache eigentlich offensichtlich ist.

Du musst doch nur zeigen (wenn überhaupt - vielleicht wisst ihr um die Monotonie der Wurzelfunktion), dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. \end{eqnarray*}$

Die äquivalente Behauptung $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\frac 1n}>1 \end{eqnarray*}$ lässt sich bequem indirekt beweisen.

Wäre nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\frac 1n}\leq 1 \end{eqnarray*}$ , dann liessen sich daraus absurde Schlußfolgerungen ziehen.

27.11.2009, 00:32

Zahnwurzel

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Ok, ich denke, ich hab' alles.

Danke nochmal! Tanzen

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