Stationäre Punkte (2)

26.11.2009, 19:13

tigerbine

Stationäre Punkte (2)

Neue Funktion, neue Probleme.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2 \end{eqnarray*}$

Wieder berechne ich die partiellen Ableitungen, um die stationäten Punkte zu finden.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 12x^3-8xy = 4x(3x^2-2y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -4x^2+2y = -(4x^2-2y) \end{eqnarray*}$

Es ist offensichtlich (x*,y*):=(0,0) ein stationärer Punkt. Gibt es noch weitere? mMn nicht.

Nun kommt eine Frage, wo ich nicht weiß, was damit gemeint ist:

"f besitzt längs jeder Urpsrungsgeraden in (x*,y*) ein striktes lokales Minimum"

Ich kann mir den 3D-Plot vorstellen. Schneide ich dann quasi senkrecht zur xy-Ebene entlang einer Urspungsgeraden und betrachte eine 2D Funktion? Nur was ist dann eine Ursprungsgerade? Also ich könnte mal y durch x ausdrücken, dann bekomme ich alles hin, außer der y-Achse.

$\begin{eqnarray*} y:= mx, ~m \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich als Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_m(x):=3x^4-4x^2(mx)+(mx)^2 =3x^4-4mx^3+m^2x^2=x^2(3x^2-4mx+m^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_m(x):=12x^3-12mx^2+2m^2x = 2x(6x^2-6mx+m^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_m(x):=36x^2-24mx+2m^2 \end{eqnarray*}$

Damit gilt $\begin{eqnarray*} f'_m(0)=0, f''_m(0) > 0,~\forall m \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Minimum ist strikt, wegen der Gestalt von f (Polynom).

Frage ist dann ja "nur" noch, was mit den Achsen selbst ist. Die x-Achse würde m=0 entsprechen. Damit würde dort gelten:

$\begin{eqnarray*} f'_0(0)=0,~f''_0(0)=0,~f'''(0)=0,~f''''(0)=72 \end{eqnarray*}$

Also auch dort ein striktes Minimum. Man hätte auch über den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gehen können. Für die y-Achse betrachten wir die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(y)=y^2 \end{eqnarray*}$

Und auch dort erhalten wir für y=0 ein striktes Minimum. War die Frage so zu verstehen?

Bleibt die letzte Frage:

"Warum ist (0,0) kein lokales Minimum von f?"

Als Hessematrix in (0,0) erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0 \\0 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium. Dazu hätte die Matrix positiv definit sein müssen. Mir fällt nun kein Satz mehr ein, den man hier benutzen könnte. Außer dem Versuch, die Definition zu widerlegen. verwirrt

26.11.2009, 19:28

Mystic

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Aller Überlegungen sind richtig, bis auf einen kleinen Rechenfehler (beim Herausheben in der ersten Ableitung), der sich in der Folge nicht auswirkt, und einen kapitalen Denkfehler... Dass die Hessematrix positiv definit ist, ist ja nur hinreichend dafür, dass (0,0) ein Minimum ist, aber nicht notwendig... Gerade dieses Beispiel zeigt das ja wunderschön... Augenzwinkern

26.11.2009, 19:39

tigerbine

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Ableitung korrigiert. Kommen wir auf Hesse zurück.

Zitat:

Als Hessematrix in (0,0) erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0 \\0 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium. Dazu hätte die Matrix positiv definit sein müssen.

Es gilt:

(x,y) lok. Minimum => Hessematrix ist positiv semidefinit (*)

Dann ist (*) doch ein notwendiges Kriterium. Das ist hier auch erfüllt.

Es gilt:

Gradient verschwindet (**) + Hessematrix ist postitiv definit (***)=> (x,y) ist striktes lokales Minimum

(**) gilt, aber (***) gilt nicht. Aber in Kombination hätte ich, falls (***) gelten würde, ein hinreichendes Kriterium gehabt (sicher in Kombi mit (**)). Das meinte ich mit meinem zitierten Satz. Wo ist da der Fehler?

Und warum ist (0,0) kein lokales Minimum?

Danke.

26.11.2009, 19:52

Mystic

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Ja, in Verbindung mit dem Verschwinden des Gradienten ist die positive Semidefinitheit der Hessematrix notwendig, aber nicht hinreichend für ein lokales Minimum, die positive Definitheit aber hinreichend, jedoch andererseits nicht notwendig...

PS. Ein Traumbeispiel, nach dem ich schon lange gesucht habe... Wo hast du nur all diese schönen Beispiele her? Augenzwinkern

26.11.2009, 19:55

Abakus

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Zitat:

Original von tigerbine
Und warum ist (0,0) kein lokales Minimum?

Nähere dich mal per Wurfkurve $\begin{eqnarray*} y = ax^2 \end{eqnarray*}$ dem Nullpunkt, a=2 ist zB interessant, aber den genauen peinlichen Bereich für a kannst du sicher ausrechnen Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

26.11.2009, 20:18

Mystic

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Oh Gott ist das peinlich, ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, das (0,0) sehr wohl ein lokales Minimum ist, aber was Abakus sagt hat Hand und Fuss, wie ich leider zugeben muss... unglücklich

26.11.2009, 20:30

tigerbine

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@mystic: Ich hab den Satz zwar mehrmals lesen müssen, aber nun reden wir über das Gleiche. Augenzwinkern

Quelle habe ich dir als pn geschrieben, auch wenn es nicht das Beispiel ist, nachdem du wohl suchst. Augenzwinkern

@Abakus:

Aha, man nähert sich anders an den Punkt (0,0) an. Dann werde ich mich mal daran versuchen.

$\begin{eqnarray*} f(x,ya^2)=3x^4-4x^2(ax^2)+(ax^2)^2 =3x^3-4ax^4+a^2x^4 = (3-4a+a^2)x^4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich deinen Trick richtig verstehe, muss ich zusehen, dass in der () was negatives steht. Dann sind alle Funktionswerte auf diesem Weg negativ, bis auf (0,0).Damit kann ich keine Umgebung finden, in der $\begin{eqnarray*} f(0,0) \leq f(x,y) \end{eqnarray*}$ gilt, und habe den Widerspruch zur Definition. Mit Lösungsformel komme ich dann auf

$\begin{eqnarray*} a \in ]1,3[ \end{eqnarray*}$

Puh, immerhin hatte man hier ja schon den Tipp, dass es kein Minimum ist, also sich eine Suche lohnt. Gibt es ein Rezept, falls "Hesse-versagt" oder was macht man in solchen Fällen?

Danke. Wink

26.11.2009, 20:50

Abakus

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Zitat:

Original von tigerbine
Puh, immerhin hatte man hier ja schon den Tipp, dass es kein Minimum ist, also sich eine Suche lohnt. Gibt es ein Rezept, falls "Hesse-versagt" oder was macht man in solchen Fällen?

Es abschätzen ggf. oder eben die Umgebung genauestens untersuchen (sich zB auf verschiedensten Wegen dem Nullpunkt nähern). Ein Rezept gibts wohl nicht, dann wäre es ja einfach Big Laugh

.

Grüße Abakus smile

26.11.2009, 20:56

tigerbine

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Zitat:

Original von Abakus
[quote]Original von tigerbine
Ein Rezept gibts wohl nicht, dann wäre es ja einfach Big Laugh

.

Grüße Abakus smile

Ich hätte auch mit "einfach" leben können. Big Laugh

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