zwei Vektoren zu einer Basis ergänzen

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26.11.2009, 20:57	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
zwei Vektoren zu einer Basis ergänzen Hallo! Es sind zwei Vektoren $\begin{eqnarray} v_1 = (1, 2, ... , n-1,n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 = (1,2,...,n-1,n+1) \in \mathbb R ^{n} \|n\geq 3 \end{eqnarray}$ gegeben. Ich soll diese beiden Vektoren so ergänzen, dass sie eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ bilden. Das ganze sieht dann in einer Matrix so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 1 & 2 & ... & n-1 & n+1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit dies eine Basis ist, muss ich also noch weitere unabhängige vektoren hinzufügen, habe ich das richtig verstanden? also z.b. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. & .. \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danke für Antwort
26.11.2009, 21:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, Zeilenumtausch bringt die Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix deren Diagonaleinträge alle ungleich 0 sind. Also ist die Matrix invertierbar und damit die Zeilen eine Basis
26.11.2009, 21:33	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke, dann habe ich das schonmal verstanden. es gibt noch einen zweiten teil, der dazu gehört. es geht um den Vektorraum aller Polynomfunktionen $\begin{eqnarray} p(x) = \sum_{i=0}^r~a_i x^{i} \| r \in \mathbb N, a_1,...,a_r \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Ich soll für $\begin{eqnarray} f_i(x)=1+x^{i} \|i=1,...,n \end{eqnarray}$ die Dimension von $\begin{eqnarray} Lin (f_1,...,f_n) \end{eqnarray}$ bestimmen. Jedoch weiß ich nicht genau wie. Die Dimension kann schonmal nicht n überschreiten. Intuitiv würde ich sagen, dass $\begin{eqnarray} dim Lin (f_1,...f_n) = n \end{eqnarray}$ ist. Kannst du mir hier einen Tipp geben, wie ich anfangen kann? Edit: Ich habe gerade ein Lemma gefunden aus der Vorlesung, welches besagt: $\begin{eqnarray} rang ( u_1,...,u_m) = dim Lin ( {u_1,...,u_m}) \end{eqnarray}$ . Kann ich damit weitermachen?
26.11.2009, 21:58	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe nun folgendes gemacht: Die allgemeine Gleichung ist $\begin{eqnarray} p(x)=a_0x^{0}+a_1x^{1}+a_2x^{2} \end{eqnarray}$ ... demnach ist $\begin{eqnarray} f_1(x)=1+x, f_2(x)=1+x^{2}, f_3(x)=1+x^{3}, ... f_n(x)=1+x^{n} \end{eqnarray}$ Daraus habe ich dann folgende Matrix gemacht: $\begin{eqnarray} Ax = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ 1 & .. & .. & .. & ... & .. \\ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ 0 & .. & .. & .. & ... & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist der Rang dieser Matrix = n, denn es gibt n-Zeilen, also ist $\begin{eqnarray} rang(Ax) = dim Lin (f_1,...,f_n) = n \end{eqnarray*}$ Kann mir jemand sagen, ob das stimmt, oder ob ich ganz daneben liege?
26.11.2009, 22:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
also die Vektoren sind l.u., deine nx(n+1)-Matrix zeigt dies doch direkt. Sie hat aber nicht Rang n weil da n Zeilen sind
26.11.2009, 22:12	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hat die Matrix den $\begin{eqnarray} rang (Ax) = n-1 \end{eqnarray}$ ? Denn es gibt n+1-Spalten aber nur n-Zeilen.
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26.11.2009, 22:13	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein sie hat Rang n. Die Begründung dafür war nur falsch
26.11.2009, 22:15	IrMel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, schnelle Antwort Die Begründung... Also der Rang einer Matrix ist ja die Anzahl der Stufen, der bearbeiteten Koeffizientenmatrix. Die Matrix hat n Zeilen, die jeweils alle eine Stufe nach unten gehen. Daher ist der rang = n?
26.11.2009, 22:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok hört sich besser an

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