Elastizität

26.11.2009, 22:54

Grassi

Elastizität

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Ein Produktionsprozess lasse sich durch folgende Produktionsfunktion beschreiben:

$\begin{eqnarray*} P(A,K)=cA^{\alpha }K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

Es gilt: A = Arbeit; K = Kapital; c = konst. Faktor
Berechnen Sie

a) die partielle Elastizität bzgl. der Arbeit
b) die partielle Elastizität bzgl. des Kapitals.

Zuerst bestimme ich ja die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} PA'=c\alpha A^{\alpha-1 }K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} PK'=cA^{\alpha }(1-\alpha)K^{-\alpha } \end{eqnarray*}$

sind die richtig?

die formel für die Elastizität is ja folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} E=f'(x)\cdot \frac{x}{f(x)} \end{eqnarray*}$

was setz ich denn jetz für das x im Bruch ein? Einfach AK ?
und wie kann man dann das ganze kürzen?

26.11.2009, 23:05

Abakus

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RE: Elastizität
Hallo!

Zitat:

Original von Grassi
die formel für die Elastizität is ja folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} E=f'(x)\cdot \frac{x}{f(x)} \end{eqnarray*}$

was setz ich denn jetz für das x im Bruch ein? Einfach AK ?
und wie kann man dann das ganze kürzen?

Richtig abgeleitet, ja. Für das x setzt du deine Variable ein, also entweder A oder K, je nachdem, welche Elastizität du berechnest.

Zum Kürzen schlage ich vor, es erstmal hinzuschreiben, dann kann die Schulmathematik helfen.

Grüße Abakus smile

26.11.2009, 23:40

Grassi

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RE: Elastizität
Okay hab es denk ich, aba wäre gut wenn du nochmal rüberguckst ob ich das nach mathematischen Regeln richtig gekürzt hab (step by step Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} E PA=c\alpha A^{\alpha-1 }K^{1-\alpha }\cdot \frac{A}{cA^{\alpha }K^{1-\alpha} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E PA=cK^{1-\alpha }(\alpha A^{\alpha-1 })\cdot \frac{A}{cK^{1-\alpha}(A^{\alpha }) } \end{eqnarray*}$

also kürzt sich das $\begin{eqnarray*} cK^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$ weg und die $\begin{eqnarray*} A^{\alpha-1 } \cdot A \end{eqnarray*}$ werden zu $\begin{eqnarray*} A^{\alpha } \end{eqnarray*}$

und dann bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ stehen?!

und jetzt noch

$\begin{eqnarray*} E PK=cA^{\alpha }(1-\alpha)K^{-\alpha }\cdot \frac{K}{cA^{\alpha }K^{1-\alpha} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E PK=cA^{\alpha }((1-\alpha)K^{-\alpha })\cdot \frac{K}{cA^{\alpha }(K^{1-\alpha}) } \end{eqnarray*}$

also das $\begin{eqnarray*} cA^{\alpha } \end{eqnarray*}$ kürzt sich weg und $\begin{eqnarray*} K^{-\alpha } \cdot K \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} K^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$

also kürzt sich das auch noch weg und es bleibt stehen: $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$

alles richtig?

27.11.2009, 14:23

Grassi

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achja ich hab die klammern um $\begin{eqnarray*} (f'(x))\cdot (\frac{x}{f(x)} ) \end{eqnarray*}$ vergessen, einfach dazu denken!
ist das gekürzte nun richtig?

27.11.2009, 23:21

Abakus

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Ja, richtig gekürzt; es kommen genau die beiden Exponenten deiner Funktion raus (woran man das Ergebnis ablesen konnte).

Grüße Abakus smile

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