Eine Reihe auf die geometrische Reihe zurückführen!?

27.11.2009, 12:44

Nik88

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Eine Reihe auf die geometrische Reihe zurückführen!?

Hallo zusammen,

ich hab nur eine ganz kleine Frage an euch...

Man kann ja z.B die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~2 \end{eqnarray*}$ zurückführen auf die Geometrische Reihe

also wäre die ja gleich: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~2 - 2^{0}- 2^{1} - 2^{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Frage:

Funktioniert das bei z.B. k = -2 genauso?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^n~2 = \sum_{k=0}^n~2 + 2^{0} + 2^{-1} + 2^{-2} \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

Danke schonmal im vorraus!

Gruß Nik

27.11.2009, 12:51

klarsoweit

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RE: Eine Reihe auf die geometrische Reihe zurückführen!?

Zitat:

Original von Nik88
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~2 \end{eqnarray*}$

Meinst du eventuell $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~2^k \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2009, 13:06

Nik88

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ohhh! ja meine ich... hab ich vergessen. Sry

^^kann den vorherigen Beitrag leider nicht mehr editieren. Ist schon ne viertel Std her...

Desweiteren frage ich mich gerade ob ich, wenn ich die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium nachweisen will, eine Folge die so aussieht
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$ habe, ob ich dann diese Reihe erst zurückführen muss auf k = 0? Oder ob man das Quotientenkriterium direkt so anwenden darf!?

mfg Nik

27.11.2009, 13:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nik88
Man kann ja z.B die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~2 \end{eqnarray*}$ zurückführen auf die Geometrische Reihe

also wäre die ja gleich: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~2 - 2^{0}- 2^{1} - 2^{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Frage:

Funktioniert das bei z.B. k = -2 genauso?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^n~2 = \sum_{k=0}^n~2 + 2^{0} + 2^{-1} + 2^{-2} \end{eqnarray*}$

Wenn man das mit der geometrischen Reihe korrigiert, dann ist erstmal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~2^k = \sum_{k=0}^n~2^k - 2^0 - 2^1 \end{eqnarray*}$

Wenn man die Reihe mit k=-2 anfängt, dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^n~2^k = \sum_{k=0}^n~2^k + 2^{-1} + 2^{-2} \end{eqnarray*}$

Du mußt schon genau hinschauen, welche Summanden in der Summe stecken und welche noch fehlen.

Zitat:

Original von Nik88
Desweiteren frage ich mich gerade ob ich, wenn ich die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium nachweisen will, eine Folge die so aussieht
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$ habe, ob ich dann diese Reihe erst zurückführen muss auf k = 0?

Nein. Du solltest selber merken, daß du mit k=0 ein ernstes Problem hast.

Mit dem Quotientenkriterium (das du direkt anwenden darfst, denn mit welchem Index die Reihe beginnt, ist völlig unerheblich) wirst du aber bei dieser Reihe nicht glücklich werden.

27.11.2009, 13:39

Nik88

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ok...also sollte ich das ruhig direkt auf die angegebene Reihe anwenden...weil da ist ist ja k schon 1.

Dann sieht das so aus....

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{1}{(k+1)^{\frac{3}{2} } } }{\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } }| \end{eqnarray*}$

Richtig? und wenn der gesamtausdruck < 1 dann ist die Reihe konvergent. Richtig?

Dann hätt ich noch ne frage zur geometrischen reihe:

wenn q < 1 dann gilt ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

und wenn q > 1 gilt $\begin{eqnarray*} \frac{q}{q-1} \end{eqnarray*}$

stimmt das so bei q >1 ?

Gruß Niklas

27.11.2009, 14:01

klarsoweit

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Du wirfst jetzt wirklich alles durcheinander. Also der Reihe nach.

Zitat:

Original von Nik88
ok...also sollte ich das ruhig direkt auf die angegebene Reihe anwenden...weil da ist ist ja k schon 1.

Wie gesagt: es ist völlig unerheblich, mit welchem Wert die Reihe beginnt. Das gilt übrigens für alle Konvergenzkriterien.

Zitat:

Original von Nik88
und wenn der gesamtausdruck < 1 dann ist die Reihe konvergent. Richtig?

Nein. Die Reihe ist konvergent, wenn es ein q < 1 gibt, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} \leq q \end{eqnarray*}$ ist für fast alle k. Es reicht nicht aus, daß lediglich $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Im übrigen - das sagte ich schon - nützt dir bei dieser Reihe das Quotientenkriterium nichts.

Zitat:

Original von Nik88
Dann hätt ich noch ne frage zur geometrischen reihe:

wenn q < 1 dann gilt ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Das ist allein schon formaler Unfug, weil da überhaupt keine Aussage steht.

Zitat:

Original von Nik88
und wenn q > 1 gilt $\begin{eqnarray*} \frac{q}{q-1} \end{eqnarray*}$

Auch das ist formaler Unfug, weil da wie schon oben keine Aussage steht.

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27.11.2009, 14:03

Nik88

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also bei der Aufgabe mit der Konvergenz hätt ich 1/2 raus. Ist das korrekt?

und wie formaler Unfug? wird das nicht hinterher so berechnet?

aber formal richtig muss da eigentlich glaube....

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1} }{1-q} \leq 1 \end{eqnarray*}$ heißen.

aber letztlich brauch ich ja die Formel mit der ich rechne. und die weis ich leider nicht genau bei dem Fall
q > 1.

27.11.2009, 14:10

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Zitat:

Original von Nik88
also bei der Aufgabe mit der Konvergenz hätt ich 1/2 raus. Ist das korrekt?

und wie formaler Unfug? wird das nicht hinterher so berechnet?

Welche Aufgabe meinst du jetzt? Und formaler Unfug ist, wenn keine Aussage da steht. Was soll denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ sein? Das ist irgendein Term. Aber was soll damit sein? Formuliere mal ganze Sätze, dann weiß man auch, was du sagen willst.

27.11.2009, 14:32

Nik88

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$
auf diese aufgabe bezog sich die Lösung von 1/2.

ok...aber ich wollte ja nur von der sache her wissen, ob man so die Reihen berechnen kann. also wenn das q kleiner als 1 ist und wenn das q > 1 ist. Ich bin mir bei dem q>1 allerdings nicht sicher ob man das so dann berechnet. Also verkürzt.
Bei q < 1 haben wir die umformung schomal gemacht...daher weiß ich das man das so berechen kann. Jetzt stellt sich bei mir nur die Frage ob es bei q > 1 so berechnet wird, wie ich es weiter oben schon angeführt hatte.

mfg
Nik

27.11.2009, 14:40

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Du kannst da mit q schreiben, was du willst, solange da keine handfeste mathematische Aussage da steht, ist das völlig belanglos. Aber da du dazu aus welchen Gründen auch immer nicht bereit bist, muß ich das wohl mal machen.

Also eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~q^k \end{eqnarray*}$ nennt man geometrische Reihe und es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ für q ungleich 1.

Daraus folgt für |q| < 1: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sum_{k=0}^n~q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Nik88
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$
auf diese aufgabe bezog sich die Lösung von 1/2.

Was soll 1/2 sein? Der Reihenwert? Da der erste Summand schon gleich 1 ist und alle Summanden positiv sind, kann das offensichtlich nicht sein. Im übrigen ist die Reihe auch keine geometrische Reihe.

27.11.2009, 15:10

Nik88

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hm achso.

wird die das ganze dann gar nicht so umgeformt?

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{1}{(k+1)^{\frac{3}{2} } } }{\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } }| \end{eqnarray*}$

_________________________________________________________________

und wegen der q - geschichte nochmal =)

|q| > 1: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sum_{k=0}^n~q^k = \frac{q}{q-1} \end{eqnarray*}$ ?

gilt das denn so?

27.11.2009, 15:16

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Zitat:

Original von Nik88
wird die das ganze dann gar nicht so umgeformt?

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{1}{(k+1)^{\frac{3}{2} } } }{\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } }| \end{eqnarray*}$

Ja, wenn du das Quotientenkriterium anwendest, dann bekommst du diesen Ausdruck. Nur das hilft dir nichts.

Zitat:

Original von Nik88
|q| > 1: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sum_{k=0}^n~q^k = \frac{q}{q-1} \end{eqnarray*}$ ?

gilt das denn so?

Nein. Es gilt nur das, was ich geschrieben habe.

Wenn es so wäre, dann müßte ja $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sum_{k=0}^n~2^k = \frac{2}{2-1} = 2 \end{eqnarray*}$ sein.

Da alle Summanden bis auf die ersten beiden größer als 2 sind, kann das offensichtlich nicht sein. Mensch, Leute, macht doch mal ein paar Stichproben mit aus der Luft gegriffenen Behauptungen. unglücklich

unglücklich

27.11.2009, 15:24

Nik88

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ja und wie kann ich dann bei der Aufgabe die Konvergenz beweisen?
Ich verstehe das irgendwie nicht so wirklich.

_____________________________________________________________

und wie soll ich dann die Geometrische reihe berechnen, wenn mein q > als 1 ist? bei meiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^\infty ~\left(\frac{9}{8} \right)^{k} \end{eqnarray*}$ ist das ja der Fall.

27.11.2009, 15:28

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Zitat:

Original von Nik88
ja und wie kann ich dann bei der Aufgabe die Konvergenz beweisen?

Welche Konvergenzkriterien kennst du denn so?

Im übrigen sind geometrische Reihen mit q > 1 divergent.

27.11.2009, 15:33

Nik88

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nee bei der Aufgabe steht nur in der Aufgabenstellung: Berechnen Sie:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^\infty ~\left(\frac{9}{8} \right)^{k} \end{eqnarray*}$
und da ist ja mein q > als 1. Ich dachte dann kann ich das mit $\begin{eqnarray*} \frac{q}{q-1} \end{eqnarray*}$ berechnen!?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
also von denen hab ich schonmal was gehört in der Vorlesung:

- Leibnizkriterium
-Qoutientenkriterium
-Minorrantenkriterium

27.11.2009, 15:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nik88
nee bei der Aufgabe steht nur in der Aufgabenstellung: Berechnen Sie:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^\infty ~\left(\frac{9}{8} \right)^{k} \end{eqnarray*}$
und da ist ja mein q > als 1. Ich dachte dann kann ich das mit $\begin{eqnarray*} \frac{q}{q-1} \end{eqnarray*}$ berechnen!?

Wie ich schon oben mit q=2 zeigte. Die Formel, die du gerne hättest, gilt einfach nicht. Und nochmal: diese Reihe ist divergent. Damit ist daran genug gerechnet. Es sei denn, der obere Summationsindex ist ein endlicher Wert.

Zitat:

Original von Nik88
also von denen hab ich schonmal was gehört in der Vorlesung:

- Leibnizkriterium
-Qoutientenkriterium
-Minorrantenkriterium

Immerhin. Nur leider ist keines von denen brauchbar. Helfen könnte das Integral- oder das Verdichtungskriterium.

27.11.2009, 15:52

Nik88

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-2}^\infty ~\left(\frac{9}{8} \right)^{k} = \infty \end{eqnarray*}$
das würde so ausreichen bei gegebener Aufgabenstellung?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
na das ist ja mal wieder super, dass wir Aufgaben bekommen die in der Vorlesung noch nicht mal angesprochen worden sind. Das Problem, dass ich hab, dass ich nicht bis zur Übung warten kann, weil ich dann schon mein Pflichtblatt abgeben muss. unglücklich

unglücklich

27.11.2009, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nik88
das würde so ausreichen bei gegebener Aufgabenstellung?

Ja.

Zitat:

Original von Nik88
Das Problem, dass ich hab, dass ich nicht bis zur Übung warten kann, weil ich dann schon mein Pflichtblatt abgeben muss. unglücklich

unglücklich

Dann frag mal den Übungsleiter, was das soll. Vielleicht kommt das Integralkriterium noch in der Vorlesung.

27.11.2009, 16:05

Nik88

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Eine Anwendung liegt bei den allgemeinen harmonischen Reihen. Für ein fixiertes ± > 0 hat

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

das gleiche Konvergenzverhalten wie

$\begin{eqnarray*} T_n = \sum_{k=0}^n 2^k\frac1{(2^k)^\alpha}=\sum_{k=0}^n (2^{1-\alpha})^k \end{eqnarray*}$ .

Tn ist ersichtlich eine geometrische Reihe mit Faktor q = 21 − ±. Aus deren Konvergenzverhalten folgt, dass für ± > 1 Konvergenz, sonst Divergenz, vorliegt.

Das hab ich jetzt zu dem Verdichtungskriterium gefunden. Wie kann ich das jez anwenden auf meine Aufgabe? Damit ich das mal irgendwie verständlich nachvollziehen kann...weil ich hab leider noch viel viel mehr von solchen Aufgaben zu lösen bis montag.

27.11.2009, 16:07

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Wenn du das mit deiner Reihe vergleichst, was ist dann wohl das alpha?

27.11.2009, 16:10

Nik88

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ja mein alpha ist dann das 3/2

und wenn alpha > 1 dann ist die Reihe konvergent oder wie?

27.11.2009, 17:55

klarsoweit

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Ja.

28.11.2009, 11:13

Nik88

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das ist verrückt, dass das so einfach geht. Man muss da nichts weiter beweisen? Nur alpha anguckenund das wars?das ist verrückt, dass das so einfach geht. Man muss da nichts weiter beweisen? Nur alpha anguckenund das wars?

28.11.2009, 12:36

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Ja. Die Vorarbeit wurde woanders geleistet. Die Frage ist natürlich, worauf du dich bei der Bearbeitung des Übungszettels beziehen darfst.

28.11.2009, 13:08

Nik88

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Ich habs einfach mal so verfasst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$ , weil alpha ( in diesem Fall 3/2) > 1 ist, ist die Reihe konvergent. (nach dem Cauchyschen Verdichtungskriterium)

sollte doch hoffe ich reichen.

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