Ableitung in Richtung der Winkelhalbierende

27.11.2009, 12:52	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung in Richtung der Winkelhalbierende Hallo Leute, ich hoffe ihr könnt mir bei dieser kleinen Aufgabe helfen. Berechne die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} Z=f(x,y)=ln\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ im Punkt P(1,1) in Richtung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten (der x,y-Ebene). Ich bilde also ersteinmal den Gradienten $\begin{eqnarray} \nabla f=(\frac{2x}{x^2+y^2},\frac{2y}{x^2+y^2}) <br /> <br /> \nabla f(1,1)=(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt brauche ich noch die Funktion der Winkelhalbierenden einer Ebene. Ich weiß dass die Winkelhalbierende von f(x)=x ist. Aber wie lautet sie für f(x,y)? Vielen Dank schonmal
27.11.2009, 15:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht ist die Richtungsableitung der Funktion $\begin{eqnarray} f(\vec{x}) \end{eqnarray}$ in Richtung des folgenden Einheitsvektors $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} cos(45°) \\ sin(45°)\end{pmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Richtungsableitung ist nichts anderes als das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \nabla f(\vec{x}) \end{eqnarray}$ Im Gradienten $\begin{eqnarray} \nabla f(\vec{x}) \end{eqnarray}$ setzt Du speziell den gegebenen Punkt $\begin{eqnarray} \vec{x}=(1\|1) \end{eqnarray}$ ein, so wie du es bisher schon gemacht hast. Ich habe die Richtigkeit Deines Gradienten aber nicht nachgerechnet.
27.11.2009, 15:53	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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