Spezielle/Allgemeine Lösung des LGS |
| 27.11.2009, 14:16 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Spezielle/Allgemeine Lösung des LGS Das ist wohl ein wichtiges Thema beim LGS/Matrizen. Deshalb wollte ich das mal allgemein durchkauen, im Board habe ich zwar Aufgaben gefunden, die mir aber nich wirklich weiterhelfen. " Es sei S: Ax=b ein LGS mit und S_H : Ax=0 das dazugehörige homogene LGS. Dann ist die Lösungsmenge von S, und die Lösungsmenge von S_H. " 1) Hmm wie habe ich das nun zu verstehen? Ich habe ein LGS Ax=b und davon sei nun v eine Lösung. Und nun habe ich ein zugehöriges LGS, wo v ebenfalls die Lösung ist. Ich verstehe nicht, wie die beiden LGS (inhomogen und homogen) jetzt plötzlich "zugehörig" sind? 2) was bedeutet , dass die Lösung, also der Vektor v Element der Gesamtheit aller Spalten ist? Also bedeutet ja die Gesamtheit aller zxs Matrizen.... Und warum muss man hier schreiben, dass v Element von und nicht von [/latex] ist? "3.5.4 Ist die Lösungsmenge L(S) von S nicht leer, so gilt für jede Lösung v(sp) von S: ." Also ich habe gelesen, dass die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS sich berechnen lässt aus der Lösungsmenge des homogenen LGS und der speziellen Lösung des inhomogenen LGS. Das heißt wenn ich ein inhomogenes LGS habe muss ich die spezielle Lösung berechnen (wie mache ich das? es gibt doch auch manchmal mehr als eine spezielle Lösung, z.B. 2 Lösungen) und addiere dann dazu die Lösungen des homogenen LGS, das heißt ich setze Ax=b nun zu Ax=0 und habe dann die Lösungen des homogenen LGS. Aber irgendwie verstehe ich das nicht, dass ich für ein inhomogenes LGS die Lösungen bekomme, wenn ich die spezielle Lösung berechne (wie gesagt, es können ja auch mehrere sein) und dann plötzlich die Lösung eines homogenen LGS hinzufüge. Wie kommt das, dass ich durch das homogene LGS Lösungen des inhomogenen bekomme.... Vielleicht kann mir da mal jemand richtig unter die Arme greifen (am besten ziemlich ausführlich ) Vielen Dank PS: Diesen Satz habe ich bei meiner Recherche gefunden, der ist doch falsch: Das inhomogene LGS hat doch eine Lösung mehr (die spezielle) ... eventuell auch mehr? siehe oben... |
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| 27.11.2009, 17:56 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1.) Man nennt das homogene LGS einfach zugehörig weil die Matrix A diesselbe ist. Die v der beiden Lösungen sind(für den Fall b ungleich 0) nicht diesselben. v ist auch keine gebundene Variable sondern eine freie Variable die die Menge aufzählt. 2.) v kann keine Matrix sein, sonst wäre dass Produkt Av ja kein Vektor wie es b ist... 3.) Es gibt nicht die spezielle Lösung die du berechnen kannst, sondern es gibt eine spezielle Lösung die du berechnest. Das macht man beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus der in der Schule zu genüge durchgekaut wurde. Falls es eine Lösung des inhomogenen LGS gibt so gibt es genauso viele Lösungen wie im homogenen Fall. Dies zeigt gerade dein Satz 3.5.4 Warum dies gilt entnimmst du am besten selbst dem Beweis. |
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| 28.11.2009, 10:58 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaub ein Beispiel ist hier am Besten... Also ich nehme einfach mal das inhomogene LGS in Matrizenform: Die Lösung dieses LGS wäre eindeutig: x_1=-5 x_2=-1 und x_3=5 Und nun heißt es: "3.5.4 Ist die Lösungsmenge L(S) von S nicht leer, so gilt für jede Lösung v(sp) von S: " Also habe ich nun v_(sp) herausbekommen, nun fehlt mir noch die Lösung des homogenen LGS also mit: Diese ist nur die triviale Lösung. Das heißt nun das die Lösung des inhomogenen LGS nun die spezielle Lösung und die triviale Lösung ist? Wie wäre das, wenn ich ein LGS mit mehreren Lösungen herausbekomme? z.B.: Hier wäre die Lösung des inhomogenen LGS: x_1=t x_2=2 und z=-1-2t also eine Gerade... Was wäre hier v_sp ? Muss man dann hier einen Wert einsetzen für t ? Nun die Lösung des dazugehörigen homogenen LGS: Diese ist nur die triviale Lösung. Dann hätte ich ja nun als Lösung des inhomogenen LGS v_sp (ein Wert auf der Gerade) + triviale Lösung. Aber eigentlich ist doch die Lösung des inhomogenen LGS nur die Gerade...
Hier gibt es eine Lösung des inhomogenen LGS (Gerade) , aber im homogenen LGS gibt es ja nur eine Lösung ! ??? Irgendwie ist mir das schleiferhaft...es kann auch sein das ich etwas ziemlich missverstanden habe: Vielleicht ist es ja auch so: Allgemeine Lösung eines LGS wird definiert, als die spezielle Lösung + die Lösung des dazugehörigen homogenen LGS. Nur a) Was bringt mir die allgemeine Lösung b) steht L(S) dann hier für allgemeine Lösung? c) Wie kann es genauso viele Lösungen im homogenen wie im inhomogenen LGS geben? Vielen Dank für Hilfe ! Schönen Samstag -- > lernen ^^ |
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| 28.11.2009, 12:16 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstes Beispiel: Eine spezielle Lösung ist (Beachte die erste Komponente, da hattest du -5?!). Die homogenen Lösungen sind . Damit ergeben sich alle Lösungen als Summe: zweites Beispiel: Du hast hier schon alle Lösungen ausgerechnet und brauchst somit den Satz auch nicht mehr. Nehmen wir aber einmal an du hast nur eine der Lösungen berechnet, z.B. mit t=1 eben die Lösung . Es ergibt sich für die homogene Lösung(hier hast du einen Rechenfehler gehabt!): . Die Summe der spez. Lösung und der homogenen Lösungsmenge ergibt gerade die Gerade die du bereits berechnet hast b) L(S) bezeichnet anscheinend die Lösungsmenge des inhomogenen Systems. Von mir zu erwarten eure Bennenung zu erraten ist ja schon 
c) Naja immer noch: Siehe dir die Beispiele oder den Beweis an |
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| 28.11.2009, 16:13 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok denke habs kapiert, nur die Frage: Was bringt mir das, dass ich die spezielle Lösung + homogene Lösung = Lösung des inhomogenen LGS weiß ? Wie wäre da z.B. eine Aufgabenstellung? Gegeben ist die spezielle Lösung und die homogene Lösung, berechnen Sie die inhomogene Lösung des LGS! ... so in etwa? |
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| 28.11.2009, 16:33 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie du auf die Lösung kommst ist mir nur noch schleierhaft: [/latex] habe dazu Gauß-Alg. angewendet 1. Zeile mit 2 multipliziert 1. Zeile Minus 2. Zeile Dann steht da: 4 2 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 Dann 2.Zeile Minus 3. Zeile dann steht da 4 2 2 0 0 1 0 0 -2 1 -1 0 Dann noch 1. Zeile Plus ( 2* 3 Zeile ) 4 2 2 0 0 1 0 0 0 4 0 0 Dann komme ich letztlich auf noch die Zeile: 4 2 2 0 ... Hab ich mich vertan? Gruß an die Kiste |
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| 28.11.2009, 19:13 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
4 2 2 0 0 1 0 0 0 4 0 0 Hast du das folgerst du doch x2 = 0 und 2x1 + x3 = 0. Dies liefert mit x1=t die Lösung. |
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| 29.11.2009, 13:10 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich hier nicht noch 4 2 2 0 0 1 0 0 0 4 0 0 dann Zeile 2 und 3 verrechnen in dem ich Zeile 2 * 4 nehme und dann Zeile 3 abziehe? |
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| 29.11.2009, 13:12 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Dann streichst du aber nur eine dieser Zeilen, nicht beide. Deswegen muss ja gerade x2 = 0 gelten.. |
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| 29.11.2009, 13:19 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
stimmt ^^ bin ich blöd nur nochmal: 1) Was bringt mir das, dass ich weiß: die spezielle Lösung + homogene Lösung = Lösung des inhomogenen LGS weiß ? Wie wäre da z.B. eine Aufgabenstellung? Gegeben ist die spezielle Lösung und die homogene Lösung, berechnen Sie die inhomogene Lösung des LGS! ... so in etwa? Du hattest ja geschrieben
Deshalb wundert mich das, für was ich das überhaupt brauch.... |
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| 29.11.2009, 13:32 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja es ist halt ein Satz. Der muss vorerst keine direkte Anwendung haben. Man könnte aber zum Beispiel durch geschicktes hinschauen eine spezielle Lösung erraten oder ähnliches und muss dann nur noch ein homogenes System lösen. Auch siehst du so dass es eben gleich viel Lösungen gibt. Außerdem siehst du dass die Lösungsmenge eine besondere Struktur hat, nämlich die eines affinen Raumes |
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| 29.11.2009, 16:10 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur geometrischen Interpretation: Angenommen ich bekomme für das inhomogene LGS eine spezielle Lösung heraus, dann kann ich diese als Ortsvektor auffassen. Angenommen ich bekomme für das homogene LGS nun auch eine Lösung heraus z.B. Dann ist ja nun auch eine Lösung des homogenen LGS. Dann wähle ich praktisch als Basis und kann nun jede Lösung als Linearkombination von der Base darstellen. Kurze Zwischenfrage: Wenn ich als Lösung eines homogenen LGS herausbekomme, dann spreche ich ja nur davon, dass es eine einzige Lösung gibt, aber im Prinzip kann ich ja jede Lösung mit einem Faktor multiplizieren und dann habe ich wieder unendlich Lösungen (vergleiche Gerade). ...(oben weiter) ...: folglich bekomme ich ja praktisch im geometrischen Sinne eine Gerade: v=v_sp+ t*B (wobei B= Basenvektor und t ein Parameter ist). Wenn ich nun aber beim homogenen LGS zwei Lösungen herausbekomme, die linear unabhängig voneinander sind (2 Basen), dann bekäme ich ja dann mit v=v_sp + t*B_1 + s*(B_2) eine Ebene mit den beiden linear unabhängigen Lösungen als Basen. Wenn ich das Spiel nun vorantreiben würde, bekäme ich ja keine Ebene mehr (bei drei linear unabhängigen Vektoren -- > sondern einen Raum als Lösung) ... und so weiter also praktisch einen n-Dimensionalen Lösungsraum? Und noch eine Überlegung: Wie sähe das ganze aus, wenn ich nun mir eine spezielle Lösung herausgreife eines inhomogenen LGS, und für das homogene LGS als Lösung unendlich viele Lösungen herausbekäme in der Form: Wie sähe dann meine geometrische Lösung aus? Hier habe ich ja dann unendlich Lösungen... Puh so richtig durchblicken tue ich da noch nicht... Danke fürs Helfen kiste |
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| 29.11.2009, 16:13 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Wir wählen eine Basis u_1 ..., u_l für L(S_H). Dann kann man jede Lösung des homogenen Systems als Linearkombination der u_j schreiben" Das hat ja direkt mit dem Satz hier zu tun: "Sind v und w Lösungen des homogenen LGS Ax=0 so ist jede Linearkombination von v und w eine Lösung" v und w wären ja dann oben meine Basen? |
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| 29.11.2009, 16:20 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch etwas: Also beim homogenen LGS bekomme ich entweder nur die triviale Lösung oder mehrere Lösungen, da ich jede weitere Lösung durch Linearkombination einer Lösung erhalte...? und die Tatsache, dass ich jede weitere Lösung als Linearkombination herausbekomme, ist im homogenen LGS dann so, dass ich z.B. t*t*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} herausbekommen würde als Lösung. Und genau dies wäre dann meine Gerade im geometrischen Sinne. Im homogenen gibt es also entweder nur die 0 als Lösung oder eine Gerade? Beim inhomogenen LGS geht die Linearkombination nicht, also das wenn ich nur eine Lösung herausbekomme diese dann noch mit einem Faktor multipliziere und dies dann auch eine Lösung ist, wie beim homogenen LGS Richtig? Ein affiner Raum ist ja nichts weiteres wie eine Teilmenge eines Raumes, die entsteht, wenn ich an einen festen Punkt alle Vektoren des Untervektorraums heranhefte, hier also ist der Untervektorraum die Lösung des homogenen Systems. Es heißt dann noch, dass U eindimensional (Gerade) und U zweidimensional (Ebene) sein kann. Eindimensional war ja die Linearkombination der Lösung , aber zweidimensional wie kommt das zustande? Ich habe ja schon die ganzen Lösungen des homogenen LGS als Gerade (Linearkombination) Hoi da herrscht Verwirrung bis oben hin, mit jedem Satz :-D Ich glaub ich bin der kiste echt mal ein Bier schuldig ^^ |
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| 29.11.2009, 17:18 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Puh du schreibst mir zu viel
Also: Du bekommst beim homogenen System nie nur eine Lösung(zusätlich zum Nullvektor, außerdem angenommen der Körper hat mehr als 2 Elemente). Die Lösungen des homogenen System bilden nunmal einen Untervektorraum. Folglich kann man auch Linearkombination der Lösungen als Lösung identifizieren. Dies funktioniert natürlich beim inhomogenen System nicht mehr. Die Lösungen des inhomogenen System bilden dann eben einen affinen Unterraum der Dimension des Kerns, also der Dimension des UVRs der Lösungen des homogenen Systems. Im Fall dass der Kern 1-dimensional ist, ergibt dies eben eine affine Gerade, im 2-dim Fall eine affine Ebene und sonst eben einen affinen Unterraum der entsprechenden Dimension(dafür gibt es keinen spez. Namen mehr) Dein Beispiel mit den "unendlich vielen Lösungen" kann übrigens nicht sein, dies ist kein UVR |
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| 29.11.2009, 21:03 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) "Die Lösungen des homogenen Systems bilden einen Untervektorraum von K^s ", das bedeutet einen Untervektorraum von den Spalten einer Matrix ? 2) Untervektorraum = Linearkombinationen möglich laut Gesetzen für UVR
3) Hmm die Dimension des Kerns ist ja die Dimension des UVR's. DIe Dimension des Untervektorraums ist doch immer 1-Dimensional , da der Untervektorraum eben immer eine Gerade , wobei Gerade ja falsch ist, es ist ja nur ein Vielfaches der Lösung (Linearkombination). Ich bekomme ja immer nur heraus beim Homogenen LGS: \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} wobei a_1 a_2 und a_3 die Lösungen des homogenen LGS bilden 4) Affiner Unterraum bedeutet also, dass ich die Lösungen des homogenen Systems, also den Untervektorraum (Lösungen des homogenen LGS) an einen Punkt "hefte" , dieser Punkt ist die spezielle Lösung. Wie gesagt ergibt sich da bei mir immer nur eine Gerade :-D Das war doch jetzt aber kurz gefasst ^^ Bitte einfach kurz zu den Nummern Kommentar schreiben Vielen Dank |
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| 29.11.2009, 23:08 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1.) Ein UVR von K^n eben, nix mit Matrix 2.) ja 3.) falsch, betrachte bspw. die Nullmatrix 4.) s. 3) |
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