Formel für 1^2+...+n^2 beweisen

07.10.2006, 17:48

Kathi89

Habe aber noch ein Problem,

Mein Induktionsschluss bei der nächsten Aufgabe ist 1/6n(n+1)(2n+1)(n+1)^2
Und zu beweisen ist 1^2+2^2+3^2+....+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) n>0
Da komme ich auch mit der termunformung überhaupt nicht klar traurig

Ich glaube sogar, mein Induktionsschluss ist schon falsch...kann mir jemand weiterhelfen?

EDIT by therisen: Doppelpost

07.10.2006, 18:32

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte 1: Formeleditor benutzen
Bitte 2: Problem genauer beschreiben. Wo hängst du bei den Umformugen ?
Induktion ist doch immer Schema F

07.10.2006, 18:36

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich empfehle dir überdies [Workshop] Vollständige Induktion
Deine Aufgabe geht ganz analog Augenzwinkern

Gruß, therisen

PS: Nein, nicht immer Schema F @ Lazarus Augenzwinkern

07.10.2006, 18:38

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

also ist es richtig, dass ich diese Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)

irgendwie auf diese Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ n(n+1)(2n+1)

bringen muss? Oder stimmt dieser Ansatz nicht?

07.10.2006, 18:50

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist es nicht. Die zu beweisende Aussage lautet $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Du muss jetzt unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung nachweisen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$ gilt. Arbeite dich von links nach rechts durch und schau dir das Beispiel aus meinem Link an.

Gruß, therisen

07.10.2006, 18:58

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich kann es einfach nicht so umformen, dass ich den ersten term bekomme, ich weiss überhaupt nicht wass ich da machen darf und was nich...

07.10.2006, 19:05

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Liest du eigentlich, was ich schreibe?

07.10.2006, 19:05

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Diese 2 Terme sind auch nicht das gleiche
Du musst beweisen, dass die Formel für n, welche ja für n=1 z.B. richtig ist, für n+1 ebenfalls stimmt.
Für die Vorgehensweise siehe therisen's Link

07.10.2006, 19:06

voessli

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray*}$ ist einfach ein Stapel von Quadraten, also eine Pyramide oder ca. $\begin{eqnarray*} n^3/3 \end{eqnarray*}$

07.10.2006, 19:25

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das hab ich doch verstanden, aber trotzdem muss ich doch den 2. term umformen, damit er so aussieht wie der 1. und noch n rest hintendran hat. dann kann ich ja sagen dass der 1. teil schonmal zutrifft und der 2. muss dann eben noch so bewiesen werden. das problem ist ja nur dass ich nicht weiss wie ich den unformen soll. ausklammern? ausmultiplizieren?

07.10.2006, 19:29

Apokalypse

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte vor ner Woche das Selbe Problem und mir hat dieser Tipp enorm weitergeholfen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{k^2}= \sum_{k=1}^n~k^{2}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

07.10.2006, 22:02

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von therisen
[...]
PS: Nein, nicht immer Schema F @ Lazarus Augenzwinkern

Im gro aller Fälle die als Beispiel und zum Üben behandelt werden allemal.
Da isses sogar noch leichter weil man nichtmal auf eine besondere Abschätzung kommen muss oder irgendwelche anderen Clous erkennen sollte.
besonders diese Summenwerte sind ja letzlich immer rausziehen - einsetzten - zusammenfassen - fertig.

Auch bei BWM Aufgaben o.ä. ist meistens das erkennen Wie die Induktion auzuführen ist, schwerer als die Induktion selbst.

07.10.2006, 22:06

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es gerade so schön zur Thematik passt, verweise ich mal auf die letzte Aufgabe von http://www.ma.tum.de/kr/ferien-vorkurs/i...duktion_auf.pdf

Das ist mal nicht Schema F, obwohl es eine Aufgabe zu Potenzsummen wie hier ist.

Gruß, therisen

07.10.2006, 22:17

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da hast du recht, das ist wirklich eine schöne Aufgabe, die in der Tat nicht nur die "üblichen" Denkmuster fordet, allerdings beruht sie trotzdem auf dem altbekannten Induktionsschema und man weiss genau "wann" man jetzt den Einfall haben muss. Und reichlich Hinweise gabs ja obendrauf.
Leider kenn ich die Aufgabe schon, also beurteile ich das evtl. im nachhinein ein wenig vorgeprägt.

08.10.2006, 04:15

voessli

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Voessli-Formel für beliebige Exponenten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^x = \frac{x(n+1)^{x+1}-\sum_{k=1}^x (2k-1)(n+1)^k(-1)^{k+x}}{(x+1)!} \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 09:56

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ist alles ein bisschen zu hoch für mich, ich bin 12.Klasse und habe erst vor 2Stunden mit Induktion angefangen. Aufgaben wie beweise jedes glied der Folge $\begin{eqnarray*} n^{3}- n \end{eqnarray*}$ ist durch 6 teilbar bereiten mir keine Probleme. Einfach alles ausmultiplizieren und so zusammen fassen, dass ich es analysieren kann. Anders bei der oben stehenden Aufgabe...

Vielleicht sollte ich jetzt aufgeben.

08.10.2006, 10:16

Steve_FL

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso aufgeben?

Das ist doch nicht so schwer, mach einfach das was therisen geschrieben hat.

Die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{(n + 1) (n + 2) (2n + 2 + 1)}{6} \end{eqnarray*}$

ist ja schon in der Form wie du sie haben möchtest!

du musst jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{k^2} \end{eqnarray*}$ das ergibt.
Apokalypse hat ja schon den grössten Teil der Aufgabe hingeschrieben.

benutze das was er geschrieben hat und dann musst du wirklich nur noch umformen, was deiner Aussage nach ja nicht schwer sein sollte...

aber bestimmt nicht aufgeben

08.10.2006, 10:29

Kathie89

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bei dieser Aufgabe ist genau das Umformen ein Problem,

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} = n(n+1)(2n+1)(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Ich hab schon versucht alles auszumultiplizieren, zusammenzufassen,...

08.10.2006, 10:40

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathie89
Nein, bei dieser Aufgabe ist genau das Umformen ein Problem,

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} = n(n+1)(2n+1)(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Ich hab schon versucht alles auszumultiplizieren, zusammenzufassen,...

kein Wunder, dass es nicht funktioniert, die 2 Seiten der Gleichung sind auch nicht äquivalent
Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 10:54

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} = \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 10:55

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 11:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Apokalypse
Ich hatte vor ner Woche das Selbe Problem und mir hat dieser Tipp enorm weitergeholfen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{k^2}= \sum_{k=1}^n~k^{2}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

@Kathi89: So mußt du anfangen. Für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^{2} \end{eqnarray*}$ kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden. Dann muß das rauskommen, was du eben gepostet hast.

08.10.2006, 11:21

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja genauso angefangen...

n+1 = n + $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

dann habe ich 'n+1' und 'n' durch denk jeweiligen Term ersetzt.

dann steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} = \end{eqnarray*}$

.........

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ich doch die obere Zeile so umformen, dass ich auf die untere komme.

Das hier:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$ benutzen wir in der Schule gar nicht.

Die Induktionsvoraussetzung ist doch n>0 ... wie soll ich die verwenden?

08.10.2006, 11:30

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi89
Ich habe ja genauso angefangen...

n+1 = n + $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

was willst du mit dieser (falschen) Gleichung ausdrücken?

Auf jeden Fall ist die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ , was du ja bewiesen hast für n = 1
aber du hast ja bereits die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
diese musst du nur noch umformen
Im [Workshop] Vollständige Induktion wird dies sogar explizit vorgerechnet

Edit: Rechtschreibung verbessert Augenzwinkern

08.10.2006, 11:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi89
Das hier:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$ benutzen wir in der Schule gar nicht.

Dann schreibe stattdessen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{k^2}= 1^2 + 2^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kathi89
Die Induktionsvoraussetzung ist doch n>0 ... wie soll ich die verwenden?

Ich hatte es geahnt. Du weißt gar nicht wirklich, wie die vollständige Induktion geht. das hier:
$\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
ist deine Induktionsvoraussetzung.

08.10.2006, 11:44

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, bin jetzt komplett verwirrt. Werde mal warten, ob ich es in der Schule verstehe wenn es mir vorgerechnet wird.
Danke für eure Bemühungen... Gott

08.10.2006, 11:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade eigentlich. Also ich fasse das nochmal zusammen:
Folgendes willst du zeigen:
$\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
Für n=1 stimmt das. Das ist der Induktionsanfang.

Für den Induktionsschritt schreibst du erstmal in der obigen Behauptung statt n den Ausdruck n+1:
(A) $\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + ... + n^2 + (n+1)^2= \frac{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$
Dieses mußt du nun zeigen. Dazu darfst du verwenden, daß gilt:

(B) $\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
Dies ist die sogenannte Induktionsvorraussetzung.

Auf der linken Seite von (A) kannst du mit Hilfe von (B) die ersten n Summanden, also $\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + ... + n^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ ersetzen.

08.10.2006, 12:07

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

\frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6}[/latex] =

\frac{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (2(n+1)+1)}{6}[/latex]

Ja, und dann den oberen Term umformen, so kann ich es kaum stehen lassen, aber wie...

08.10.2006, 12:09

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} = \end{eqnarray*}$

.........

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ich doch die obere Zeile so umformen, dass ich auf die untere komme.

Das hab ich ja da oben schon gemacht, eben umgekehrt, aber das muss stimmen.

08.10.2006, 12:16

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi89
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} = \end{eqnarray*}$

.........

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ich doch die obere Zeile so umformen, dass ich auf die untere komme.

Das hab ich ja da oben schon gemacht, eben umgekehrt, aber das muss stimmen.

genau das ist dein Ziel
probier mal beim oberen Term auszumultiplizieren und den unteren Term auf einen Hauptnenner zu bringen und dann form einfach ein bisschen rum

08.10.2006, 12:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du könntest auch die untere Zeile so umformen, daß du auf die obere Zeile kommst. das ist ggf. etwas einfacher.

08.10.2006, 12:23

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Der obere ausmultipliziert wäre bei mir dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 12:40

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

und der untere:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 12:41

Markus21

Auf diesen Beitrag antworten »

nein falsch, statt 13n muss dort 7n stehen

08.10.2006, 12:44

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber jetzt ist das ja gar nicht dasselbe...

08.10.2006, 12:51

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Kathi, deine beiden Ergebnisse sind richtig Freude

damit wäre der Beweis erbracht smile

08.10.2006, 13:07

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaaaaaaaaa ich glaubs nicht...lange Geburt. Danke an alle!

08.10.2006, 13:17

Kathi89

Auf diesen Beitrag antworten »

aaaaber wenn ich nochmal richtig nachrechne hat Markus doch recht, und es steht 7n anstatt 13n beim unteren term! ??

08.10.2006, 13:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß nicht, was ihr da rechnet. verwirrt

Nehmen wir den oberen Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n^2+3n+2) \cdot(2n+3)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

@Markus21: du hast leider Unrecht. traurig

@Kathi: was hast du denn beim unteren Term gerechnet?

08.10.2006, 14:43

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi89
aaaaber wenn ich nochmal richtig nachrechne hat Markus doch recht, und es steht 7n anstatt 13n beim unteren term! ??

ich denke mal du hast vergessen die (n+1)² auf den Hauptnenner 6 zu bringen

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Formel für 1^2+...+n^2 beweisen

Verwandte Themen