Reihe - Konvergenz/Divergenz

27.11.2009, 16:49	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe - Konvergenz/Divergenz Hallo, wie untersuche ich bei folgender Reihe die Konvergenz am einfachsten? $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{k^3+1} \end{eqnarray}$ Mit dem Integralkriterium kriegt man die Divergenz heraus. Geht es noch leichter/eleganter?
27.11.2009, 17:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist $\begin{eqnarray} k\geq1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} k^3+1\leq k^3+k^3=2k^3 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \frac{k^2}{k^3+1}\geq\frac{k^2}{2k^3}=\frac{1}{2}\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ .
27.11.2009, 17:56	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gefällt mir gut - Danke Bei der nächsten Reihe hab ich erst mal in die 2 Summanden aufgeteilt, denn wir sollen Real- und Imaginärteil getrennt betrachten. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{2n}}+i \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray}$ Und jetzt müsste es mit dem Leibniz-Kriterium gehen, stimmt's? Die beiden Brüche in den Summen sind jeweils monoton fallende Nullfolgen, deswegen ist die Reihe konvergent.

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