Restsystem

27.11.2009, 16:58	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Restsystem Hallo Will folgende Aufgabe lösen: Es sei $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N, m>2 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} 1^2,2^2,...,m^2 \end{eqnarray}$ kein vollständiges Restsystem modulo m bilden. Ich müsste ja irgendwie zeigen dass in diesem Restsystem mindestens aus einer Restklasse mod m kein Repräsentant existiert. Mir fällt allerdings nicht ein wie ich das anstellen könnte. Wäre für eine kleine Hilfestellung sehr dankbar.
27.11.2009, 17:55	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du hast genau m Repräsentatoren gegeben, die bilden genau dann ein Repräsentantensystem, wenn jede Restklasse genau einmal vertreten ist. Sprich, wenn du zeigst, dass zwei solche Quadrate in der gleichen Restklasse liegen bist du fertig.
27.11.2009, 17:58	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sehr logisch. Aber wie stelle ich das an? Weiß nicht wie ich das machen soll.
27.11.2009, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe die ersten paar Quadratzahlen hin und berechne, was für m=3,4,5,... passiert. Dann siehst du etwas, das formulierst du als Behauptung und beweist es. So einfach geht das.
27.11.2009, 18:58	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mir ist aufgefallen, dass sich in den Restsystemen immer 2 Repräsentanten für die Restklasse von 1 mod m befinden. Daher habe folgendes aufgestellt und bewiesen: $\begin{eqnarray} (m-1)^2 \equiv 1 mod m \end{eqnarray}$ und da sowieso gilt $\begin{eqnarray} 1 \equiv 1 mod m \end{eqnarray}$ Habe ich dann in jedem Restsystem dieser Form 2 Repräsentanten der Restklasse von 1 mod m. Stimmt das so?
27.11.2009, 19:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so habe ich das gemeint. Wie hast du die Behauptung bewiesen ?
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27.11.2009, 19:35	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (m-1)^2 \equiv 1 mod m \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} m^2-2m+1 \equiv 1 mod m \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \frac{m^2-2m}{m}=m-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \equiv 1 mod m \end{eqnarray}$ Das denke ich ist klar oder? Reicht das so?
27.11.2009, 19:45	MLRS	Auf diesen Beitrag antworten »
die 2. Implikation ist nicht gerechtfertig und absolut nicht notwendig es reicht: $\begin{eqnarray} (m-1)^2 \equiv 1 \equiv 1^2 \operatorname {mod} m \end{eqnarray}$
27.11.2009, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (m-1)^2\equiv m^2-2m+1 \equiv 1 \mod m \end{eqnarray}$ Implikation ist nicht notwendig, binomische Formel ist besser, und die 2. Kongruenz gilt wegen $\begin{eqnarray} m\|m^2 \wedge m\|2m \end{eqnarray}$ Es geht auch $\begin{eqnarray} m-1\equiv -1\mod m\Rightarrow (m-1)^2\equiv (-1)^2 = 1 \mod m \end{eqnarray}$
28.11.2009, 10:58	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe. Hat mir sehr geholfen.

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