Kleine Beweise mit Stetigkeit

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gessi Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Beweise mit Stetigkeit
Hallo!

Wir haben zur Übung mal die Zwischenprüfungsklausuren vom letzten Jahr durchgemacht. Leider gibt es dazu aber keine Musterlösung...
Darum frage ich hier mal.


1) Die Funktion sei stetig und es gelte für alle . Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Beweis:
Annahme: f ist nicht konstant, d.h. es existieren , mit .
Dann muss gelten: (da )
Das ist ein Widerspruch zur Stetigkeit, da gelten muss für alle
Da dies für beliebige a,b gilt, muss f konstant sein.


2) Gegeben seien zwei stetige Funktionen mit f(x) > g(x) für alle . Zeigen Sie, dass es eine Konstante c > 0 gibt mit .

Anschaulich ist das natürlich klar...

Beweis(idee):
Sei . Dann gilt .
Wähle
Aber das kommt mir zu einfach vor und ich habe das Problem, dass ich die Indexmenge für das i nicht angeben kann, denn zwischen 0 und 1 liegen ja unendlich viele Punkte.

Andere Idee:
h(x) := f(x)-g(x)
Dann ist c das Minimum von h(x).
Dass dieses Minimum existiert, weiß ich, da h(x) als Verknüpfung der stetigen Funktionen f(x), g(x) stetig ist und das Intervall [0, 1] kompakt ist (stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen Maximum und Minimum an).


3) Zeigen Sie, dass jede Funktion gleichmäßig stetig ist.

Hier habe ich gar keine Idee.
Ich weiß, dass glm. stetig bedeutet:
oder
für alle Folgen

Irgendwie stolpere ich schon über das . Da die , kann doch gar nicht kleiner als 1 werden. Oder hängt das wieder mal damit zusammen, dass f auf den Punkten zwischen den natürlichen Zahlen gar nicht definiert ist verwirrt


Was meint ihr zu den Beweisen bzw. habt ihr eine Idee für 3 ?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleine Beweise mit Stetigkeit
Zitat:
Original von gessi
1) Die Funktion sei stetig und es gelte für alle . Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Beweis:
Annahme: f ist nicht konstant, d.h. es existieren , mit .


Hier fällt das Delta vom Himmel. Du musst alle vorkommenden Variablen schon vorher definieren.


Zitat:
Dann muss gelten: (da )
Das ist ein Widerspruch zur Stetigkeit, da gelten muss für alle
Da dies für beliebige a,b gilt, muss f konstant sein.


Nein, dass muss nicht für alle Epsilon gelten. Es existiert lediglich für jedes Epsilon ein Delta, so dass ... . Das ist ein Unterschied.


Zitat:
2) Gegeben seien zwei stetige Funktionen mit f(x) > g(x) für alle . Zeigen Sie, dass es eine Konstante c > 0 gibt mit .

Anschaulich ist das natürlich klar...

Beweis(idee):
Sei . Dann gilt .
Wähle
Aber das kommt mir zu einfach vor und ich habe das Problem, dass ich die Indexmenge für das i nicht angeben kann, denn zwischen 0 und 1 liegen ja unendlich viele Punkte.


Ja, es ist hier nicht klar, was das i sein soll.


Zitat:
Andere Idee:
h(x) := f(x)-g(x)
Dann ist c das Minimum von h(x).
Dass dieses Minimum existiert, weiß ich, da h(x) als Verknüpfung der stetigen Funktionen f(x), g(x) stetig ist und das Intervall [0, 1] kompakt ist (stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen Maximum und Minimum an).


Idee richtig, Argumentationsreihenfolge falsch. Du musst zuerst begründen, dass das Minimum existiert, danach kannst du es dann als c bezeichnen. Wieso löst das nun die Aufgabe ? (überlege, dass c = 0 nicht gehen kann und c nichtnegativ sein muss)


Zitat:
3) Zeigen Sie, dass jede Funktion gleichmäßig stetig ist.

Hier habe ich gar keine Idee.
Ich weiß, dass glm. stetig bedeutet:
oder
für alle Folgen

Irgendwie stolpere ich schon über das . Da die , kann doch gar nicht kleiner als 1 werden. Oder hängt das wieder mal damit zusammen, dass f auf den Punkten zwischen den natürlichen Zahlen gar nicht definiert ist verwirrt


Hier fehlt der Beweisanfang. Du musst dir ein vorgeben. Dann gib ein an, so dass die von dir angegebene Bedingung erfüllt ist. Mehr ist nicht gefordert. (wähle mal ein recht kleines Delta und schau dir die Bedingung an)

Grüße Abakus smile
gessi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleine Beweise mit Stetigkeit
Danke schonmal!

zu 1)

Stetigkeit bedeutet ja: .

Kann ich so argumentieren:
Sei .
Sei .
Dann das, was ich hatte.
Dann finde ich zu kein , sodass das gilt.

Stimmt wenigstens die Idee zu 1) und nur die Formulierung ist falsch oder ist die ganze Idee falsch?


zu 2)
Zitat:
Idee richtig, Argumentationsreihenfolge falsch. Du musst zuerst begründen, dass das Minimum existiert, danach kannst du es dann als c bezeichnen. Wieso löst das nun die Aufgabe ? (überlege, dass c = 0 nicht gehen kann und c nichtnegativ sein muss)


Ok, dann drehe ich die Reihenfolge um.
Deine Frage "Wieso löst das nun die Aufgabe ?" verstehe ich nicht so hundertprozentig. Da f(x) > g(x) für alle x, ist auch h(x) > 0. Muss ich das auch noch beweisen (wenn ja, wie?)?


zu 3) Das sollte auch kein Beweisanfang sein, das waren nur die mir bekannten Definitionen Augenzwinkern

Sei
Was verstehst du unter einem kleinen ? Eines nahe bei 0? Dann finde ich doch gar nicht erst x und y, die die Bedingung erfüllen.
Ich könnte höchstens wählen. Aber wer oder was sagt mir dann, dass die Funktionswerte nahe genug beieinander sind?

Sorry, ich blick das immer noch nicht...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mal kurz zur 1) was: Das Problem ist, dass du das nur indirekt über das steuern kannst (du weißt nur, dass es ein entsprechendes gibt, aber nicht, wie groß es ist) und du nicht weißt, ob denn auch dein bisher willkürlich gewähltes in diesem Intervall um ist. Dein könnte ja so klitzeklein sein...

zur 3) Schau dir mal an.

Gruß, therisen
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleine Beweise mit Stetigkeit
therisen hat zu 1) und 3) schon treffend was gesagt, hier noch was zu 2):

Zitat:
Original von gessi
zu 2)
Zitat:
Idee richtig, Argumentationsreihenfolge falsch. Du musst zuerst begründen, dass das Minimum existiert, danach kannst du es dann als c bezeichnen. Wieso löst das nun die Aufgabe ? (überlege, dass c = 0 nicht gehen kann und c nichtnegativ sein muss)


Ok, dann drehe ich die Reihenfolge um.
Deine Frage "Wieso löst das nun die Aufgabe ?" verstehe ich nicht so hundertprozentig. Da f(x) > g(x) für alle x, ist auch h(x) > 0. Muss ich das auch noch beweisen (wenn ja, wie?)?


Gut, h(x) > 0. Mir fehlt noch die Begründung dafür, wieso c > 0 ist. Bisher hast du nur die Existenz von c als Minimum von h.

Es mag sein, dass das einfach ist, aber es gehört zu einer vollständigen Lösung in einer Klausur.

Grüße Abakus smile
gessi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleine Beweise mit Stetigkeit
zu 1)

Ist es so besser?

Annahme f nicht konstant.
f stetig, d.h.
Sei
Sei beliebig, sei mit und .
Dann muss gelten:
Widerspruch

Aber habe ich jetzt nicht ein Problem, falls die Funktion auf einem Stück konstant ist und nur stellenweise nicht?


zu 3)
Wenn ich nehme, dann finde ich doch wieder keine , für die das gilt. Außer ich nehme x = y, dann habe ich natürlich auch f(x) = f(y), aber das gilt ja immer und ist irgendwie witzlos.



zu 2)
Ist die Begründung für h(x) > 0 ok?
Dann kann ich sagen: h(x) > 0 für alle x, also auch .
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) Nein, der Einwand von oben besteht weiterhin. Du kannst nicht einfach annehmen...

zu 3) Witzlos? Nein! Das ist der springende Punkt smile Es ist ja dann


EDIT: zu 2) Die Funktion besitzt auf dem Kompaktum das Minimum .
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) Dann hab ich absolut keine Ahnung, wie das gehen soll...

zu 3) Echt? *g*
Dann ist das ja wirklich einfach.
Ich hab irgendwie dauernd gedacht, dass das nicht geht, weil es dann ja für jede beliebige Funktion gelten würde, da f(x) - f(x) = 0 immer gilt. Aber ich glaube, inzwischen hab ich die Erklärung verstanden Augenzwinkern :
Ich brauche ja nur irgendein , also nehme ich eines . Wegen geht das nur für x = y.
Es gilt aber eben nicht für alle Funktionen, denn: Hätte ich eine Funktion mit Def.bereich oder , gäbe es in dem Bereich - egal wie klein das ist - immer unendlich viele Punkte.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gessi
zu 1) Dann hab ich absolut keine Ahnung, wie das gehen soll...


Stell dir erstmal visuell vor, was es heißt, dass f stetig ist und nur natürliche Zahlen als Funktionswerte annimmt. Was bedeutet das für verschiedene Werte von ?

Oder wenn du eine andere Idee möchtest, denke an den Zwischenwertsatz.

Grüße Abakus smile
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischenwertsatz (und seine Konsequenzen Augenzwinkern )... hm, das gilt aber eigentlich ja nur auf [a,b] und nicht auf ganz IR...

Aber wenn ich ein beliebiges Intervall [a, b] rausgreife, weiß ich ja, dass alle Werte zwischen f(a) und f(b) angenommen werden. Da aber f(a) und f(b) in IN sein müssen, geht das nur, wenn f(a) = f(b). Wenn f(a) = f(b) gilt, ist f auf [a, b] konstant (haben wir in der Vorlesung bewiesen).

Kann ich das jetzt irgendwie auf ganz IR ausdehnen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst ja nicht wirklich ein beliebiges Intervall herausgreifen - nimm einfach an, es gäbe , mit . Und jetzt betrachtest du genau dieses Intervall und argumentierst mit dem ZWS.


Gruß, therisen
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