Beweis der Bijektivität der Möbius-Transformation

27.11.2009, 18:24

Demon153

Beweis der Bijektivität der Möbius-Transformation

Ich hab da ein Problem mit dem Beweis der Surjektivität, kann mir da jemand helfen?
Die aufgabe lautet wie folgt: Es sei H:={z?C:Imz>0} die obere komplexe Halbebene. Zeigen Sie: Durch g(z):=(az+b)/(cz+d) wird für reelle Zahlen a,b,c,d?R genau dann eine bijektive Abbildung g:H->H definiert, wenn ad-bc>0 ist. Hinweis: Hierbei ist auch zu zeigen, dass der Wertebereich von g tatsächlich in H enthalten ist. Die durch h(z):=(dz-b)/(-cz+a) definierte Abbildung ist ein guter Kandidat für die Umkehrabbildung.

Ich glaub ich bin einfach zu doof dazu, hab keinen richtigen Lösungsansatz gefunden und verzweifle langsam.
Danke für jede Hilfe!

27.11.2009, 19:05

system-agent

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Zunächst solltest du noch feststellen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ überhaupt wohldefiniert ist, denn $\begin{eqnarray*} cz+d=0\Leftrightarrow z=-\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c\neq0 \end{eqnarray*}$ . Was wäre für $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ? Ist $\begin{eqnarray*} -\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ ein Problem?

Danach:
Berechne $\begin{eqnarray*} \text{Im}(g(z)) \end{eqnarray*}$ . Nutze dazu, dass
$\begin{eqnarray*} z\bar{z}=|z| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar{z}) \end{eqnarray*}$ .

27.11.2009, 19:20

Demon153

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RE: Beweis der Bijektivität der Möbius-Transformation
Das ? sollte Element von bedeuten, also $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$

27.11.2009, 19:25

Demon153

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Zitat:

Original von system-agent
Zunächst solltest du noch feststellen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ überhaupt wohldefiniert ist, denn $\begin{eqnarray*} cz+d=0\Leftrightarrow z=-\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c\neq0 \end{eqnarray*}$ . Was wäre für $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ? Ist $\begin{eqnarray*} -\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ ein Problem?

aber zerlegst du die aufgabe damit nicht? $\begin{eqnarray*} g(x)=(az+b)/(cz+d) \end{eqnarray*}$

27.11.2009, 19:34

Leopold

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Möbius-Transormation

27.11.2009, 19:48

system-agent

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Zitat:

Original von Demon153
aber zerlegst du die aufgabe damit nicht? $\begin{eqnarray*} g(x)=(az+b)/(cz+d) \end{eqnarray*}$

Die Frage verstehe ich nicht.