Basis und Dimension

Neue Frage »

telamolo Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Dimension
Hallo zusammen!

Trotz vieler Erklärungen habe ich diese Fragen noch nicht verstanden.

a) Sind die folgenden Vektoren des linear abhängig oder unabhängig:



Meine Antwort: Die Vektoren sind alle linear unabhängig
denn:



Lösung nach Goußverfahren :


z.B. x4 = k

b) Bestimme: eine Basis des von den Vektoren aufgespannten Unterraums von .

Meine Überlegung: Alle 4 Vektoren bilden eine Basis von .

Stimmt das? verwirrt

c) Bestimme: dim [a1, a2, a3, a4]

Meine Überlegung: dim = 4
denn: nach der Definiton --> Dimension des Unterraums U = Anzahl der Elemente einer Basis von U

Stimmt das auch? verwirrt

Vielen Dank für eure Hilfe!
xrt-Physik Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)
der Vektor a4 ist linear abhängig; nämlich von 2!
2*0 = 0

Ich glaube die Aussagen müssten stimmen!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis und Dimension
Zitat:
Original von telamolo
Meine Antwort: Die Vektoren sind alle linear unabhängig
denn:



Hmm. Irgendwas hast du wirklich nicht verstanden. Also die 4 Vektoren sind linear unabhängig, wenn aus
folgt, daß alle lambdas = Null sein müssen. Oder was meintest du mit:
?

Zitat:
Original von telamolo
Lösung nach Goußverfahren :


z.B. x4 = k

Hier hast du falsch weiter gemacht. Aus der Tatsache, daß die Matrix eine komplette Nullzeile hat, kannst du schon folgern, daß die Vektopren linear abhängig sind. Eine mögliche lambda-Kombination ist lambda_1 = -2, lambda_2 = lambda_3 = -1 und lambda_4 = 1.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xrt-Physik
zu a)
der Vektor a4 ist linear abhängig; nämlich von 2!
2*0 = 0

falsch formuliert und irgendwie sinnlos dazu!? verwirrt

Wenn da eine sinnvolle Aussage dahintersteckt, bitte konkretisieren.
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube er meinte mit "der 4. Vektor" die 4. Zeile. (Die Nullzeile) Was ja sowieso schon falsch wäre.

Aber mal unter uns - der Nullvektor ist der einzige Vektor, der auch alleine lin. abhängig ist.. smile
telamolo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis und Dimension
Zitat:
Hier hast du falsch weiter gemacht. Aus der Tatsache, daß die Matrix eine komplette Nullzeile hat, kannst du schon folgern, daß die Vektopren linear abhängig sind. Eine mögliche lambda-Kombination ist lambda_1 = -2, lambda_2 = lambda_3 = -1 und lambda_4 = 1.



Oh je, ich bin schon durch'nander geworden.
Ich habe die Aufgabe nochmals gerechnet und habe rausgefunden, dass alle lambda () = 0 sind, und die Vektoren () linear unabhängig sind.

Wenn es so ist, heißt es jetzt, dass die Vektoren eine Basis des Unterraums U von bilden?
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis und Dimension
Zitat:
Original von telamolo
Ich habe die Aufgabe nochmals gerechnet und habe rausgefunden, dass alle lambda () = 0 sind, und die Vektoren () linear unabhängig sind.

Sind sie aber nicht, das sehe ich so

addiere ich a1 und a3 bekomme ich (2/2/0/0), dazu noch a1 und a2 addiert... gibt genau a4.

Linear abhängig sind die.
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren sind aber linear abhängig, wie oben schon beschrieben, das sieht man ja schon an der Nullzeile. (n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Raum sind immer lin. abhängig! Hier wären es 4 Vektoren in einem 3-dimensionalen Raum (die 4. Komponente (oder Koordinate) wird ja nicht benutzt))
telamolo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Basis und Dimension
Zitat:
Original von Shurakai
Die Vektoren sind aber linear abhängig, wie oben schon beschrieben, das sieht man ja schon an der Nullzeile. (n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Raum sind immer lin. abhängig! Hier wären es 4 Vektoren in einem 3-dimensionalen Raum (die 4. Komponente (oder Koordinate) wird ja nicht benutzt))


Ja, ihr habt recht. Die Vektoren sind linear abhängig.
Heißt es dann, dass es keine Basis des Unterraums von ?
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sie linear abhängig sind, können sie per definitionem keine Basis bilden
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis und Dimension
Zitat:
Original von telamolo
Heißt es dann, dass es keine Basis des Unterraums von ?

Die 4 Vektoren bilden keine Basis des . Sie spannen aber einen Unterraum auf. Die Basis dieses Unterraums ist eine geeignete Teilmenge der 4 Vektoren.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »