Basis und Dimension |
07.10.2006, 19:24 | telamolo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Basis und Dimension Trotz vieler Erklärungen habe ich diese Fragen noch nicht verstanden. a) Sind die folgenden Vektoren des linear abhängig oder unabhängig: Meine Antwort: Die Vektoren sind alle linear unabhängig denn: Lösung nach Goußverfahren : z.B. x4 = k b) Bestimme: eine Basis des von den Vektoren aufgespannten Unterraums von . Meine Überlegung: Alle 4 Vektoren bilden eine Basis von . Stimmt das? c) Bestimme: dim [a1, a2, a3, a4] Meine Überlegung: dim = 4 denn: nach der Definiton --> Dimension des Unterraums U = Anzahl der Elemente einer Basis von U Stimmt das auch? Vielen Dank für eure Hilfe! |
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07.10.2006, 19:33 | xrt-Physik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zu a) der Vektor a4 ist linear abhängig; nämlich von 2! 2*0 = 0 Ich glaube die Aussagen müssten stimmen! |
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07.10.2006, 19:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basis und Dimension
Hmm. Irgendwas hast du wirklich nicht verstanden. Also die 4 Vektoren sind linear unabhängig, wenn aus folgt, daß alle lambdas = Null sein müssen. Oder was meintest du mit: ?
Hier hast du falsch weiter gemacht. Aus der Tatsache, daß die Matrix eine komplette Nullzeile hat, kannst du schon folgern, daß die Vektopren linear abhängig sind. Eine mögliche lambda-Kombination ist lambda_1 = -2, lambda_2 = lambda_3 = -1 und lambda_4 = 1. |
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07.10.2006, 19:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
falsch formuliert und irgendwie sinnlos dazu!? Wenn da eine sinnvolle Aussage dahintersteckt, bitte konkretisieren. |
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07.10.2006, 20:17 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube er meinte mit "der 4. Vektor" die 4. Zeile. (Die Nullzeile) Was ja sowieso schon falsch wäre. Aber mal unter uns - der Nullvektor ist der einzige Vektor, der auch alleine lin. abhängig ist.. |
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07.10.2006, 20:25 | telamolo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basis und Dimension
Oh je, ich bin schon durch'nander geworden. Ich habe die Aufgabe nochmals gerechnet und habe rausgefunden, dass alle lambda () = 0 sind, und die Vektoren () linear unabhängig sind. Wenn es so ist, heißt es jetzt, dass die Vektoren eine Basis des Unterraums U von bilden? |
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07.10.2006, 20:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basis und Dimension
Sind sie aber nicht, das sehe ich so addiere ich a1 und a3 bekomme ich (2/2/0/0), dazu noch a1 und a2 addiert... gibt genau a4. Linear abhängig sind die. |
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07.10.2006, 20:30 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Vektoren sind aber linear abhängig, wie oben schon beschrieben, das sieht man ja schon an der Nullzeile. (n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Raum sind immer lin. abhängig! Hier wären es 4 Vektoren in einem 3-dimensionalen Raum (die 4. Komponente (oder Koordinate) wird ja nicht benutzt)) |
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07.10.2006, 21:13 | telamolo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Re: Basis und Dimension
Ja, ihr habt recht. Die Vektoren sind linear abhängig. Heißt es dann, dass es keine Basis des Unterraums von ? |
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08.10.2006, 00:20 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn sie linear abhängig sind, können sie per definitionem keine Basis bilden |
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08.10.2006, 11:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basis und Dimension
Die 4 Vektoren bilden keine Basis des . Sie spannen aber einen Unterraum auf. Die Basis dieses Unterraums ist eine geeignete Teilmenge der 4 Vektoren. |
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