Gleichung mit Gaußklammer [war: Widerspruchsbeweis]

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Kara Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Gaußklammer [war: Widerspruchsbeweis]
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:


Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung



Dies soll mit einem Widerspruchsbeweis bewiesen werden.

Für eure Hilfe wäre ich super dankbar! :-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Bestimmungsgleichung (x ist zu bestimmen) kann man nicht "beweisen", sondern man muss sie auflösen.

Beweisen oder widerlegen kann man eine Aussage (Formel).

mY+
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Für ganzzahlige x erhält man .

Daraus folgt .

Das ist nun natürlich keine Lösung der Gleichung, denn wir haben ja x ganzzahlig vorrausgesetzt. Aber nun sind wir dem ganzen schon ein Schritt näher.

Denn wegen , wissen wir .

Dann ist aber





etc...

PS: Ich habe mal den Titel geändert. Widerspruchsbeweise gibts hier viele...
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal danke für die schnellen Antworten!

Das ist auch mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich den Widerspruchsbeweis auf diese Aufgabe anwenden soll... Aber die Aufgabe steht unter dem Thema "Widerspruchsbeweise", also muss ich den irgendwie verwenden...

Wie kommst du auf die Ungleichungen


etc.
?
Der erste Teil ist klar (warum [x]<196).
Und dann wäre das ja mein Widerspruch, oder? Weil 196 ja niemals kleiner gleich 196-1 ist. Oder hab ich da einen falschen Gedankengang?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass die Ungleichungen, so wie sie da stehen, Unsinn sind.

Es ist und weil ganzzahlig ist, gilt also .
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das ist dann natürlich logisch.
Nur weiß ich noch immer nicht, wie ich da jetzt den Widerspruchsbeweis mit einbauen soll?
 
 
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt die Annahme, dass es keine Lösungsmenge zu dieser Gleichung gibt und ich gehe davon aus, dass es eine Lösungsmenge gibt (Widerspruchsbeweis).

Durch die Vorüberlegungen gilt nun, dass x zwischen 195 und 196 liegen müsste.

Nun habe ich bereits gezeigt, dass für die Summe der gegeben linken Seite immer kleiner als 12345 sein muss (genauer: kleiner gleich 12285).
Dies habe ich durch folgende Überlegung gezeigt:


usw.

für x=195 folgt für die Summe, dass sie kleiner als 12345 ist und weil die Gaußklammern im weiteren Verlauf immer kleiner werden (da x bzw. 2x bzw.4x etc das Maxium ist), wird auch die Summe kleiner und somit immer kleiner als 12345.

Es fehlt also noch der Fall .

Wie kann ich zeigen, dass die Summe der gegebenen linken Seite immer größer als 12345 ist? Denn dann hätte ich den Widerspruch und somit gezeigt, dass es keine Lösungsmenge zu der Gleichung gibt.

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kara
Es fehlt also noch der Fall .

Wie kann ich zeigen, dass die Summe der gegebenen linken Seite immer größer als 12345 ist?

Du hast dich verschrieben und meinst den Fall , nicht wahr? verwirrt


Technisch zweckmäßig (im Sinne eines ordentlichen Aufschriebs) wäre es, die linke Seite als Funktion zu betrachten, also

.

Offensichtlich ist als Summe monoton wachsender Funktionen auch selbst monoton wachsend.
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Ja, hatte mich wirklich verschrieben.

Ich hab jetzt auch gemerkt, das meine Ideen irgendwie nicht ganz stimmig sind.

Jetzt hab ich erstmal durch Ausprobieren festgestellt, dass die Werte zwischen 12342 und 12348 nicht getroffen werden. Also auch nicht 12345. Denn ab x=195,99 ändert sich bis x=196 der Wert nicht mehr (wenn ich immer um eine Nachkommastelle erhöhe), bleibt also bei 12342 konstant stehen.

Das muss ich natürlich noch beweisen, aber ich weiß nicht wie...?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie tmo festgestellt hat, ist . Wenn du jetzt noch nachweist, dass

für alle mit

für ein "geeignet gewähltes" ist, dann bist du fertig mit deinem Widerspruchsbeweis. Es sollte auch keine Überraschung sein, dass es mit klappt.
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Da die letzte Gaußklammer ist und dadurch mit die letzte Gaußklammern auch nicht "abgerundet" wird.

Nur wie kann ich begründen, dass eben die Werte zwischen 12342 und 12348 wirklich nicht getroffen werden, also konstant bleibt und der nächste getroffene Wert genau 12348 ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Schau doch mal meinen ersten Post an....

Wenn z.b.

Dann ist

also .

Das gleiche klappt mit allen anderen Summanden auch.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kara
Nur wie kann ich begründen, dass eben die Werte zwischen 12342 und 12348 wirklich nicht getroffen werden

Genau nachlesen und auch ein wenig drüber nachdenken:

Zitat:
Original von Arthur Dent
.
Offensichtlich ist als Summe monoton wachsender Funktionen auch selbst monoton wachsend.


Zitat:
Original von Arthur Dent
Wie tmo festgestellt hat, ist . Wenn du jetzt noch nachweist, dass

für alle mit

für ein "geeignet gewähltes" ist, dann bist du fertig mit deinem Widerspruchsbeweis.

Aufgrund der Monotonie gilt dann für alle , sowie für alle .
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt eine etwas andere Lösung (für die Endidee) erarbeitet:
Um zu zeigen, dass der Wert 12345 nicht getroffen wird, muss ich mir die Nachkommastellen von 195,... ansehen und diese mit c bezeichnen, wobei 0<c<1 sein muss (ist ja klar). Und das mache ich dann für jede weiter Zahl, also 2c, 4c, 8c, 16c und 32 c. Dann komme ich jeweils auf einen maximalen Wert, der erreicht werden kann. Dann muss ich nur noch die Summe bilden aus
195+2*195+4*195+8*195+16*195+32*195 und den maximalen Werten und erhalte dann den Wert 12342, d.h. die Werte zwischen 12342 und 12348 (x=196) werden nicht getroffen und ich bin fertig.

Ich möchte mich bei euch bedanken, weil ihr mir sehr weitergeholfen habt!
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Leider muss ich jetzt die Monotonie der Gaußfunktion beweisen, weil ich das sonst nicht verwenden darf...

Aber wie kann ich zeigen, dass die Gaußfunktion monoton steigend ist?

Ich weiß ja, dass aus einer Gaußklammer stets eine ganze Zahl folgt (da sie abgerundet wird). Und je größer die eingesetzte Zahl wird, desto größer bzw. gleich wird bzw. bleibt das Ergebnis.

z.B.



usw. (ebenso für negative Zahlen)

Daraus sehe ich ja schon, dass die Funktion monoton steigt, aber die Idee für eine Beweisführung fehlt mir. Könntet ihr mir dabei vielleicht helfen? Wäre super!
Kara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Frage jetzt mal unter einer anderen Überschrift gestellt(Monotonie der Gaußklammerfunktion), also nicht wundern, falls ihr das noch einmal findet...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann schließen wir hier einmal.

*** geschlossen ***

mY+
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