Bogenlänge einer parametrisierten Kurve

28.11.2009, 10:05	000000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer parametrisierten Kurve Die Bogenlänge einer stetig diffbaren Kurve hängt nicht von der Parametrisierung ab $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die Kurve, $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die Parametrisierung Spielt es eine Rolle, ob $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ orientierungstreu oder orientierungsumkehrend ist? Ist orientierungstreu/orientierungsumkehrend einfach nur ein anderes Wort für sms bzw. smf in diesem Fall?
28.11.2009, 11:23	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge einer parametrisierten Kurve Du meinst wahrscheinlich, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine Parametertransformation ist, oder? Eine einzelne Parametrisierung kann nicht orientierungstreu oder orientierungsumkehrend sein. Die Orientierungstreue sollte bei der Bogenlänge keine Rolle spielen. Bei allgemeinen Transformationen dreht sich das Vorzeichen um - da aber bei der Bogenlänge ohnehin mit den Beträgen gearbeitet wird, sollte das keine Rolle spielen. sms und smf sagen mir nichts, Orientierungsumkehrung bedeutet aber einfach, dass du die Kurve eben anders herum durchläufst (bidlich gesprochen). Anfangs- und Endpunkt werden also vertauscht, wohingegen diese bei Orientierungserhaltung erhalten bleiben. Gruß MI
28.11.2009, 13:49	000000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Parametrisierung wäre demzufolge $\begin{eqnarray} f\circ\varphi \end{eqnarray}$ ?
28.11.2009, 16:54	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein. Eigentlich müsstest du folgendes sagen (ich betrachte im Folgenden Kurven im IR^n): Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Kurve mit Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma:~[a,b]\to E\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Also schreiben wir besser $\begin{eqnarray} f_{\gamma} \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine Paramtertransformation, d.h. ein Diffeomorphismus mit $\begin{eqnarray} \varphi:~[a,b]\to [\alpha,\beta] \end{eqnarray}$ . Dann gilt. $\begin{eqnarray} f_\gamma\circ \varphi \end{eqnarray}$ beschreibt wieder die Kurve $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit einer anderen Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma': [\alpha,\beta]\to E\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Die Parametertransformation kann jetzt orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend sein. Das Problem ist nämlich folgendes: Deine Kurve ist nur eine Äquivalenzklasse, eine Menge von Punkten im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ (zumindest meistens in diesem Raum). Du kannst nicht von "Orientierung" sprechen, da nicht klar ist, wie du die Kurve durchläufst. Nur, wenn du eine Parametrisierung der Kurve gegeben hast, dann kannst du die Kurve "nachlaufen". Anschaulich: Du kannst deinen Weg zur Arbeit/Uni als Kurve betrachten. Das sagt dir aber nicht, wie du da durchläufst. Z.B. könntest du das erste Stück schnell laufen, dann eine Pause machen, wieder ein Stück zurücklaufen und dann schnell zur Uni laufen. Das wäre eine Parametrisierung. Eine andere Parametrisierung wäre, wenn du einfach mit konstanter Geschwindigkeit zur Uni läufst. Eine Parametertransformation ist nun eine Transformation, die dir die erste Parametrisierung in die zweite überführt. Orientierungserhaltend ist sie, wenn Start- und Endpunkt gleich sind (du gehst von zu Hause zur Uni), orientierungsumkehrend, wenn sie vertauscht werden (erste Parametrisierung: von zu Hause zur Uni, nach Parametertransformation: von der Uni nach Hause). Gruß MI

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