Konvergenzbeweis gegen e^-1

28.11.2009, 10:30

Dito

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Konvergenzbeweis gegen e^-1

Hallo,
ich muss die Konvergenz der Folge
$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$
zeigen und den Grenzwert angeben.
Ich weiß, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(1-\frac{1}{n})^{n}=e^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich da argumentieren? o.O Wie soll ich da auf e kommen? ich meine es ist doch eignetlich ein Grenzwert, "den man kennen sollte" aber wie beweise ich den?

Mir fehlt da der komplette Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen...

28.11.2009, 10:37

Kopfrechner

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RE: Konvergenzbeweis gegen e^-1

Zitat:

[i]
$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

Hallo,

substituiere im oberen Ausdruck n=-m und dann etwas Potenzrechnung...

Gruß, Kopfrechner

28.11.2009, 10:40

Kühlkiste

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RE: Konvergenzbeweis gegen e^-1
Hab ich was an den Augen, ich sehe da nichts als eine Tautologie!

28.11.2009, 10:57

Dito

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naja durch die Subsittution komme ich auch nur auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty } \frac{1}{(1+\frac{1}{m})^{m}} \end{eqnarray*}$

und klar der untere Term geht gegen e aber so wirklich bewiesen habe ich es nicht o.O

Also die Aufgabenstellung lautet

"Untersuchen sie jeweils $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ ."

Die Frage ist nur, was ich als bekannt zu Grunde legen darf (HM I). Zumal

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}=e \end{eqnarray*}$ schon vorkam...zumal der Grenzwert der Folge halt e genannt wird...

Reicht das mit der Substitution als Beweis? o.O

28.11.2009, 11:37

tmo

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Die Substitution bringt in meinen Augen wenig, da man den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} m \to -\infty \end{eqnarray*}$ hat, über den nichts bekannt ist.

Man könnte $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ etwas umformen:

1.

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n} \right)^n = \left(1-\frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n} = \frac{\left(1-\frac{1}{n^2} \right)^n}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} 1 > \left(1-\frac{1}{n^2} \right)^n \geq 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

2.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n-1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left(\frac{n}{n-1} \right)^n} = ... \end{eqnarray*}$

Such dir was aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2009, 11:54

Dito

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ah okay die erste Ungleichung ist klar.

Der obere Term geht gegen 1 für $\begin{eqnarray*} n -> \infty \end{eqnarray*}$ ... müsste die Ungleichung dann nicht heißen
$\begin{eqnarray*} 1\geq \left(1-\frac{1}{n^2}%20\right)^n%20\geq%201-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ oder mache ich da einen Denkfehler?

weil für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ würde auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} 1>1 \end{eqnarray*}$ stehen...

unten konvergiert der Term gegen e, also an gegen 1/e

Wie mir die zweite Umformung helfen soll, sehe ich noch nicht unglücklich

unglücklich

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28.11.2009, 12:15

tmo

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Zitat:

Original von Dito
Der obere Term geht gegen 1 für $\begin{eqnarray*} n -> \infty \end{eqnarray*}$ ... müsste die Ungleichung dann nicht heißen
$\begin{eqnarray*} 1\geq \left(1-\frac{1}{n^2}%20\right)^n%20\geq%201-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ oder mache ich da einen Denkfehler?

weil für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ würde auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} 1>1 \end{eqnarray*}$ stehen...

Du machst den Denkfehler, dass aus $\begin{eqnarray*} a_n>b_n \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ .

Es folgt nur: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \geq \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ .

28.11.2009, 12:20

Dito

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ah richtig das kommt mir bekannt vor ^.^
danke schonmal dafür.

Aber deine zweite Umformung sagt mir immer noch nichts...wie komme ich darauf, dass der Term gegen e geht? (das ist ja das, was ich brauche)...kann auch einfach sein, dass ich den Wald wor lauter Bäumen nicht mehr sehe...soll auch vorkommen ^.^

28.11.2009, 12:24

tmo

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n-1} = \frac{n-1+1}{n-1} = 1 + \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

28.11.2009, 13:39

Dito

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hm, womit wir schon beim nächsten Problem wären...warum geht

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n-1})^{n} \end{eqnarray*}$ gegen e oder allgemein

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+k})^{n}=e,k\in Z \end{eqnarray*}$

kann ich da so argumentieren, dass für genügend große n das k vernachlässigbar ist?

28.11.2009, 13:51

tmo

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Formal geht das dann so:

$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n+k} \right)^n = \left( 1+\frac{1}{n+k} \right)^{n+k} \cdot \left( 1+\frac{1}{n+k} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$ .

Der letzte Faktor konvergiert gegen 1.

28.11.2009, 13:59

Dito

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Gott

danke, ich habs verstanden =)

28.11.2009, 16:01

Kopfrechner

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Vielleicht sehe ich das ja zu einfach, nämlich so:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^{n}=(1+\frac{1}{m})^{-m}=[(1+\frac{1}{m})^{m}]^{-1}= \frac{1}{(1+\frac{1}{m})^m} \end{eqnarray*}$

Dito schrieb, dass $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ bzw. sein Grenzwert e schon vorkam, das darf also m.E. benutzt werden.
Was spricht jetzt gegen eine Argumentation mit den Grenzwertsätzen? Und schon ist man fertig ...

Gruß, Kopfrechner

28.11.2009, 18:39

Dito

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Ich denke, dass beide Argumentationsketten möglich sind (wurde uns auch schon eingebläut, dass es nicht DIE Lösung gibt...zumal ich mit Hilfe der Argumentationen von tmo weitere Aufgaben ohne Probleme lösen konnte --> Quetschlemma/Abschätzung)

die einzige Aufgabe, die mir noch Kopfzerbrechen bereitet ist
$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1+\frac{1}{nk})^{n},k\in N \end{eqnarray*}$

Ich habe erweitert und umgeformt bis zum Schwarzwerden aber auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_{n}=e^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

komme ich nicht. Könnt ihr mir vielleicht eine sinnvolle Umformung sagen und mich vom Holzweg holen? Hammer

Hammer

28.11.2009, 19:07

Kopfrechner

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Zitat:

[i] $\begin{eqnarray*} a_{n}=(1+\frac{1}{nk})^{n},k\in N \end{eqnarray*}$

Ich habe mal wieder eine Substitution anzubieten: m=n*k, n im Exponenten ersetzen und etwas umformen ...

Gruß, Kopfrechner

28.11.2009, 19:38

Dito

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ja, die Substitution habe ich auch schon durchgeführt, aber ich bin nicht weitergekommen...vielleicht auch einfach ein Rechenfehler

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1+\frac{1}{kn})^{n} \end{eqnarray*}$

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} m=kn \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1+\frac{1}{kn})^{n}=(1+\frac{1}{m})^{m*\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

und dann? nur, damit ich es richtig verstehe...^^

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{m})^{m*\frac{1}{k}}=((1+\frac{1}{m})^{m})^\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

und damit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n}=e^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

sorry für die edits aber ich habe gerade, als ich geschrieben habe meinen Rechenfehler gefunden (blöde Potenzrechenregeln^^)

lg und danke für eure Mühe

Dito

28.11.2009, 19:46

Kopfrechner

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Ja, so ist es ... Freude

Freude

Ich wollte gerade antworten, ist aber überflüssig geworden.

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