Konvergente Folgen - Verständnis

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28.11.2009, 10:59	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente Folgen - Verständnis Hallo, versuche mich durch den Dschungel der Definitionen zu schlagen. Leider vergeblich. Hoffe ihr könnt mir helfen. Eine Folge $\begin{eqnarray} \left\{ p_n \right\} \end{eqnarray}$ konvergiert wenn ein Punkt $\begin{eqnarray} p \in X \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft existiert: Für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es eine natürliche Zahl N so dass aus $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} d(p_n,p) < \epsilon \end{eqnarray}$ folgt. $\begin{eqnarray} \left\{ p_n \right\} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen p. HAt jemand von euch Beispiele? Damit ich es besser verstehen kann? Abstand zwischen pn und p muss kleiner Epsilon sein. ... ok dabei ist pn ein glied der Folge Muss p zu der Folge pn gehören? Was ist eigentlich Epsilon? Einfach irgendeine Zahl oder hat es eine besondere Bedeutung? Ich will es einfach durch und durch verstehen. Also wenn mir jemand helfen könnte.... Danke!
28.11.2009, 11:38	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergente Folgen - Verständnis $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ist eigentlich irgendeine Zahl. Du könntest theoretisch $\begin{eqnarray} \varepsilon=10^6 \end{eqnarray}$ setzen, aber das hilft dir für die Definition ist. Die Idee ist, dass $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ KLEIN werden kann. Und zwar beliebig klein. In der Mathematik ist $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ daher oft auch ein Synonoym für eine Zahl, die fast Null ist (aber größer). Nun zum eigentlichen Problem: Die Idee der Konvergenz ist folgendes: Wenn du dich mit der Zahlenfolge gegen unendlich bewegst, dann gibt es einen Wert p (der NICHT zur Zahlenfolge dazugehören muss!), gegen den sich die gesamte Folge annähert. Betrachte zwei Beispiele: 1. Nimm die Folge $\begin{eqnarray} \{p_n\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Diese Folge nähert sich immer näher an Null an - sie konvergiert gegen Null. Oder mit der Definition: Es muss gelten: Für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} N\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} n\leq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} d(p_n,0)<\epsilon \end{eqnarray}$ . Der Beweis ist immer gleich: Ich gebe dir ein beliebiges (kleines) epsilon, und du zeigst mir, welches N die Bedingung erfüllt, d.h. für welches N sämtliche folgenden Folgenglieder in dem Epsilon"schlauch" $\begin{eqnarray} -\varepsilon<0<\varepsilon \end{eqnarray}$ liegen. Sei also epsilon gegeben. Dann gibt es nach Archimedes ein N0 mit: $\begin{eqnarray} \frac{1}{N_0}<\varepsilon \end{eqnarray}$ Damit gilt aber, da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}<\frac{1}{N_0} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>\mathbb{N_0} \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} n> N_0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} d(p_n,0)<\epsilon \end{eqnarray}$ Das genügt. Die Folge konvergiert gegen 0. Andere Folge: Sei $\begin{eqnarray} \{p_n\} \end{eqnarray}$ definiert als: $\begin{eqnarray} p_n=\begin{cases} -1\quad \text{für ungerade n} \\ 1 \quad \text{für gerade n}\end{cases} \end{eqnarray}$ Diese Folge ist offensichtlich nicht konvergent. Beweis: Ich gebe dir $\begin{eqnarray} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Was auch immer du machst, findest kein N, sodass ALLE dann folgenden Folgenglieder innerhalb eines Epsilonschlauches um eine beliebige Zahl liegen. Z.B.: Angenommen die Folge konvergiert gegen 1. Aber es gilt: $\begin{eqnarray} \not\exists N\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sodass in dem Epsilonschlauch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}=1-\varepsilon<p_n<1+\varepsilon=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ alle folgenden Elemente der Folge liegen. Das nächste ungerade Element liegt NICHT darin. Vielleicht ist das jetzt etwas klarer? Gruß MI
28.11.2009, 12:13	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das hat mir schon sehr geholfen. Obwohl ich denke dass ich mir wahrscheinlich noch hunderte von Bsp anschauen muss damit mir der Begiff richtig geläufig ist. Noch eine Zusatzfrage. Im Buch steht dass eine konvergente Folge nicht nur von $\begin{eqnarray} \{ p_n \} \end{eqnarray}$ abhängt sondern auch von dem Raum X in dem es sich befindet. Also konvergiert $\begin{eqnarray} \{ 1/n \} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} R^1 \end{eqnarray}$ aber sie konvergiert nicht in der Menge aller positiven reellen Zahlen mit $\begin{eqnarray} d(x,y) = [x - y] \end{eqnarray}$ Wie soll ich das jetzt verstehen?? wieso konvergiert die folge nicht im zweiten fall?
28.11.2009, 21:13	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergente Folgen - Verständnis schubs
28.11.2009, 22:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest noch erwähnen, was $\begin{eqnarray} [x-y] \end{eqnarray}$ bedeuten soll. Was sind für dich die positiven Zahlen? Insbesondere: gehört die Null dazu? Nehmen wir die übliche Metrik von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , dann konvergiert $\begin{eqnarray} \left\{\frac{1}{n}\right\} \end{eqnarray}$ natürlich gegen Null. Nehmen wir aber anstatt $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nur die strikt positiven Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R_{>0}:=\{x\in\mathbb R\quad:\quad x>0\} \end{eqnarray}$ , dann konvergiert deine Folge nicht mehr, da die Null nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ liegt. Anderes Beispiel: $\begin{eqnarray} \left\{\sqrt{2}-\frac{1}{n}\right\} \end{eqnarray}$ konvergiert in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit der euklidischen Metrik [nach $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ], aber nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit der euklidischen Metrik. Konvergenz hängt davon ab, natürlich was man für eine Folge hat, aber fast noch mehr davon, in welchem Raum man die Folge betrachtet und welche Metrik man in diesem Raum betrachtet.
30.11.2009, 08:12	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildbereich einer Folge ist die Menge aller Punkte die in der Folge enthalten sind. Dieser kann eine endliche oder undendliche Menge sein. Aber eine Folge mit endlich vielen Gliedern konvergiert doch nicht oder? Hab ich es richtig verstanden? Und wie soll ich es mir vorstellen wenn der Bildbereich beschränkt ist? Habt ihr Beispiele?
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30.11.2009, 14:32	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube du musst dir zuerst noch einmal die Definition einer Folge ansehen. Formal ist eine reelle Folge eine Funktion $\begin{eqnarray} \mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray}$ . Der Bildbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, die sie annehmen kann. Unbeschränkter Bildbereich: $\begin{eqnarray} a_n:=n \end{eqnarray}$ [hier ist der Bildbereich ganz $\begin{eqnarray} \mathbb N\subset\mathbb R \end{eqnarray}$ .] Beschränkter Bildbereich: $\begin{eqnarray} b_n=2009 \end{eqnarray}$ [also eine konstante Folge, der Bildbereich ist also die Menge $\begin{eqnarray} \{2009\}\subset\mathbb R \end{eqnarray}$ ]. Nichkonvergente Folge mit beschränktem Bildbereich: $\begin{eqnarray} c_n=(-1)^n \end{eqnarray}$ Das heisst ein beschränkter Bildbereich sagt nichts über Konvergenz aus. Zb. ist $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ ziemlich konvergent, aber $\begin{eqnarray} (c_n) \end{eqnarray}$ garnicht.
30.11.2009, 18:23	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
deine beispiele sind sehr einleuchtend. hier noch 2 wo ich mir unsicher bin 1) Folge $\begin{eqnarray} s_n = i^n \end{eqnarray}$ ist divergent, beschränkt und hat endlichen Bildbereich 2) Folge $\begin{eqnarray} s_n = 1 (n = 1,2,3...) \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 1 , ist beschränkt und hat einen endlichen Bildbereich. 1) dass es divergent ist, ist klar. es wird nunmal immer größer und näher sich keinem grenzwert. aber wieso beschränkt? wieso endlicher bildbereich. n kann doch unendlich groß sein und damit auch i^n 2)ich habe mich erstmal gegen die tatsache gestreubt dass die folge gegen 1 konvergiert. aber wenn man strikt nach der definition vorgeht. dass die meisten glieder in der umgebung von dem grenzwert liegen egal wie klein die umgebung ist , dann stimmt es. die folge besteht ja nur aus einsen. also liegen die sogar alle in der umgebung von 1. aber wie erkläre ich jetzt beschränktheit und endlichen bildbereich? weil alles nur auf 1 abgebildet wird ist es endlich? und warum beschränkt? und noch eine nebenfrage zu dem bildbereich. betrachtet man da immer unterschiedliche elemente? also wenn z.b. für unterschiedliche n's 2,2,1,5,4,2,1 rauskommt dann ist der bildbereich (1,2,4,5) ?? vielen dank für kommende antworten
30.11.2009, 19:04	Grüner	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst die beispiele ausm Rudin und die sind in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ gegeben deswegen ist mit i die imaginäre zahl gemeint damit ist der bildbereich von 1) : $\begin{eqnarray} \{1,-1,i,-i\} \end{eqnarray}$ dann ist die beschränktheit und Endlichkeit ja klar und bei 2) ist der Bildbereich ja $\begin{eqnarray} \{1\} \end{eqnarray}$ also auch endlich und beschänkt weil die menge $\begin{eqnarray} \{1,1,1,1,1\} \end{eqnarray}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray} \{1\} \end{eqnarray}$ . war bloß ein kleiner denkfehler.

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