reduziertes Restsystem

28.11.2009, 12:45	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
reduziertes Restsystem Hallo ich will folgende Aufgabe lösen. Es seien $\begin{eqnarray} p \in \mathbb P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {r_1,...,r_{p-1}} \end{eqnarray}$ ein reduziertes Restsystem modulo p. Zeige, dass gilt: $\begin{eqnarray} \prod_{j=1}^{p-1} r_j \equiv -1 mod p \end{eqnarray}$ Weiß irgendwie nicht wie ich da beginnen könnte. Also mir ist die Definition von einem reduzierten Restsystem klar. Wäre dankbar für einen kleinen Tipp.
28.11.2009, 12:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du weißt dass die Elemente 1,..,p-1 beziehungsweise ein dazugehöriges Restsystem eine Gruppe bezüglich der Multiplikation bilden. Ordne jetzt jedem Rest sein Inverses zu. Dies funktioniert nicht bei selbstinversen Elementen. Dies sind gerade die Elemente mit x^2 = 1. Welche Lösungen dieser Gleichung gibt es? Alle Tipps zusammengefasst hast du eigentlich schon die Lösung
29.11.2009, 11:40	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Aber so ganz bekomme ichs irgendwie nicht hin. Also die Lösung von x^2=1 kann ja nur 1 sein, da nur diese Selbstinvers ist. Ich vermute das hat was damit zu tun dass in meiner Kongruenz -1 steht. Aber irgendwie versteh ich den Zusammenhang noch nicht ganz.
29.11.2009, 11:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um eine verklausulierte Formulierung des Satzes von Wilson.
29.11.2009, 12:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung x^2 = 1 hat auch noch eine andere Lösung. Was genau hast du an meinem Tipp nicht verstanden? Wenn du willst kannst du natürlich auch den Beweis nachschlagen, jetzt wo Arthur den Namen des Satzes verraten hat
29.11.2009, 12:38	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hinweise. Würde den Tipp aber trotzdem gerne nachvollziehen können. Irgendwie ist mir nicht klar welche Zahl außer der 1 noch diese Gleichung löst?
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29.11.2009, 12:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh das sind ja mal schwere Defizite. Welche Lösungen hat die Gleichungen denn in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (Tipp: Wurzel ziehen oder binomische Formel)? Dieselben hat es auch in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$
29.11.2009, 12:55	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube da stand ich auf dem Schlauch. Klar 1 und -1.
29.11.2009, 12:58	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay damit hast du denn Beweis eigentlich schon. Wie gesagt: Die anderen Elemente kann man in Pärchen gruppieren die miteinander multipliziert 1 ergeben
29.11.2009, 13:25	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja jetzt ist es glaub ich klar. Danke. Also kann ich meine Behauptung wirklich genauso beweisen wie der Satz von Wilson.
29.11.2009, 13:29	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Behauptung ist nur eine umständliche Formulierung des Satzes von Wilson

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