Familie,Vektoren,Basis

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28.11.2009, 13:28	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Familie,Vektoren,Basis Hallo Ich habe hier folgende Aufgabe: Ergänzen Sie in den folgenden Beispielen die Familie M von Vektoren zu einer Basis von V, falls das möglich ist. a) $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^3, M=((1,2,3),(2,3,4)). \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^3, M=((1,3,2),(2,6,4)) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} V=Span((1,2,3,4),(5,6,7,8),(1,2,4,8)) \subseteq \mathbb R^4, M=((3,2,0,-4),(1,2,2,0)) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} V=((x,x+z,2z):x,z \in \mathbb R), \end{eqnarray}$ M ist leer. Ich weiß überhaupt nicht, wo ich anfangen soll, bzw. überhaupt nicht wie ich das machen soll. Es wäre toll, wenn mir jemand an einem Beispiel erklärt wie man solch eine Aufgabe löst, damit ich es für den Rest alleine versuchen kann. LG estrella28
28.11.2009, 13:47	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf deutsch steht da: Kann man den Vektoren, die M enthält (wenn dir Familie nicht gefällt, denke dir Menge) einen oder mehrere Vektoren hinzufügen, so dass diese Vektoren eine Basis von V bilden? Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray} V = \mathbb{R}^2, M = ((1,0)) \end{eqnarray}$ Kann man einen Vektor v finden, so dass v und (1,0) eine Basis vom R^2 bilden? Ja, zum Beispiel (0,1).
28.11.2009, 13:55	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also muss ich nur noch Vektoren finden, sodass die linear unabhängig sind, also bei a noch einen Vektor?
28.11.2009, 13:59	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
28.11.2009, 14:15	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie kann ich das rechnerisch anstellen, ich muss wahrscheinlich ein Gleichungssystem aufstellen, aber wie muss das aussehen??
28.11.2009, 14:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe doch die zwei Vektoren als Zeilen in eine Matrix und stelle Zeilenstufenform her (das ist nur ein Schritt). Dann musst du einen Vektor ergänzen, der eine $\begin{eqnarray} 3 \times 3 \end{eqnarray}$ - Matrix in Zeilenstufenform entstehen lässt. Nimm zum Beispiel (0,0,c) $\begin{eqnarray} (c \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$
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28.11.2009, 17:03	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
das verstehe ich nicht so ganz, wir haben noch kaum mit matrizen gerechnet ...
28.11.2009, 17:21	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme einfach nicht weiter...
28.11.2009, 17:34	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie überprüfst du denn, ob die zwei Vektoren, die in M enthalten sind, linear unabhängig sind? Tu das zunächst mal. Dann gucken wir weiter.
28.11.2009, 17:35	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir jetzt den Vektor (0,0,1) genommen und überprüft ob er und die Vektoren aus M linear unabhängig sind, das sind sie. Nun bin ich gerade dabei zu prüfen, ob sie ein Erzeugendensystem sind, doch wie mach ich das?
28.11.2009, 17:43	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Drei Vektoren, die linear unabhängig sind, bilden im R^3 immer ein Erzeugendensystem, das musst du nicht mehr prüfen.
28.11.2009, 17:46	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
bei b ist es doch nicht möglich M zu einer Basis zu ergänzen da die Vektoren aus M schon linear abhängig sind oder??
28.11.2009, 17:50	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig.
28.11.2009, 17:53	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie mache ich das aber nun bei c) und d), das sieht sehr kompliziert aus ...
28.11.2009, 18:05	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es sein, dass es bei c auch nicht möglich ist, da schon der erste Vektor aus M sich nicht aus den Vektoren von V darstellen lässt, das müsste aber der Fall sein, damit M überhaupt die Chance hat eine Basis zu werden, oder??
28.11.2009, 18:10	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
bei d müsste ich mir theoretisch 3 verschiede x und 3 verschiedene z auswählen, sodass diese 3 Vektoren dann l.u., mit diesen 3 vektoren müsste dann M ergänzt werden, doch wie mach ich das am besten???
28.11.2009, 18:17	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Familie,Vektoren,Basis Deine Argumentation in c) finde ich einleuchtend. Für d) solltest du V als Spann verschiedener Vektoren schreiben, so wie in c). Das machst du, indem du x und z aus der Darstellung (x,x+z,2z) ausklammerst.
28.11.2009, 18:19	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Familie,Vektoren,Basis das verstehe ich nicht ganz... sind V nicht alle Vektoren mit 3 Komponenten, deren komponenten das erfüllen: (x,x+z,2z) ???
28.11.2009, 18:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
(x,x+z,2z) = (x,x,0) + (0,z,2z) = x(1,1,0) + z(0,1,2). Also $\begin{eqnarray} V = span((1,1,0), (0,1,2)) \end{eqnarray}$ . Jetzt sieht es genauso wie in c) aus, nicht?
28.11.2009, 18:26	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
achso aber wie komme ich jetzt auf die Basis?
28.11.2009, 18:28	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Da M leer ist, nimm doch einfach (1,1,0) und (0,1,2). Es ging bei dieser Aufgabe wohl nur darum, die Vektoren in V so darzustellen, wie ich dir gezeigt habe.
28.11.2009, 18:38	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, du hast mir sehr geholfen
30.11.2009, 18:39	funnygirl	Auf diesen Beitrag antworten »
hey estrella28 deine argumentation zu c) verstehe ich nicht M soll eine Basis werden, also müssen nur die Elemente aus M die Vektoren aus V darstellen können du musts dir also einen weiteren ausdenken, den den ich mir ausgedacht habe, da lassen sich alle Vektoren in V durch die in M darstellen??
30.11.2009, 22:46	eggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber in M kommen doch im ersten Vektor 2 verschiedene Vorzeichen vor. Und in V kommen nur dieselben Vorzeichen vor(alle positiv). Also kann M doch schon gar nicht mehr V darstellen. Also kann M keine Basis von V sein. Hoffe ich liege richtig, bin mir auch nicht ganz sicher.
01.12.2009, 10:23	funnygirl	Auf diesen Beitrag antworten »
warum nicht? mein hat doch skalare aus dem körper, die man hinzufügen kann und warum sollte ein bestimmter skalar nicht negativ sein? ich habe zuerst getestet ob die elemten in M überhaupt durch die in V darstellbar sind, und das funktioniert, wenn man den skalaren einmal die werte -1, -1, 1 zuordnet(also insgesamt 3 skalare) u für das zweite elemten in M die werte -1,2 und 0 u dann hab ich mir einfach einen vektor aus V genommen, in zu M getan, u so is M dann eine basis, das sie lu ist u jeden vektor aus V darstellen kann... oder hab ich da irgendwo nen denkfehler? ich wüsste nicht wo...

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