Richtungsableitung

28.11.2009, 15:40

Galileo995703

Richtungsableitung

Hey Leute,

ich hab folgendes Problem:

Ich hab die Funktion: $\begin{eqnarray*} g(x,y)=xy^2+2 \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt die Richtungsableitung im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x} _0 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ von g in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\left(\frac{3}{5} ,\frac{4}{5} \right) \end{eqnarray*}$ .

Die Richtungsableitung ist ja nun:
$\begin{eqnarray*} grad_{\vec{x} } g:=\begin{pmatrix} y^2 \\ 2xy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x} _0 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lautet sie: $\begin{eqnarray*} grad_{\vec{x} } g:=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nur Frage ich mich jetzt, was bringt mir die Aussage: ...in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\left(\frac{3}{5} ,\frac{4}{5} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Was muss ich damit noch machen?

Dankeschön schonmal für eure Antworten!! smile

28.11.2009, 15:48

Cel

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RE: Richtungsableitung

Zitat:

Original von Galileo995703
Die Richtungsableitung ist ja nun:
$\begin{eqnarray*} grad_{\vec{x} } g:=\begin{pmatrix} y^2 \\ 2xy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Eben nicht! Das ist der Gradient, wie du ja schreibst. Die Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \rightarrow 0}~\frac{g(x+t\vec{a}) - g(x)}{t} =: \frac{\partial g}{\partial \vec{a}}(x) \end{eqnarray*}$

Setze also hier den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und deinen Punkt x ein.

28.11.2009, 16:59

Galileo995703

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Okay, das hier eingesetzt würde ja lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} x \frac{(\frac{48}{125}t^3+\frac{8}{25}t^2-t+1)-1}{t}=\lim_{t \to 0} x \frac{48}{125}t^2+\frac{8}{25}t-1=-1 \end{eqnarray*}$

Das heißt, das die Richtungsableitung von g im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x}_0=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gleich -1 ist, oder smile

28.11.2009, 17:05

Cel

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Genau!

Dieses x vor dem Bruchstrich gehört da aber nicht hin.

28.11.2009, 17:06

Galileo995703

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stimmt, das x gehört da nich hin smile

danke nochmal für die tolle hilfe smile

28.11.2009, 17:18

Galileo995703

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achja..bei der nächsten aufgabe Big Laugh

...hmm...ich soll die Richtungsableitung von g in Richtung des größten Anstiegs berechnen.

Wäre das dann die Funktion partiell ableiten und dann den Punkt x0 einsetzen?

28.11.2009, 18:40

Cel

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Nicht ganz. Wikipedia sagt:

Zitat:

Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion h(x,y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von h an einer Stelle (x,y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit (Steigung) ist.

Was musst du also tun? Du musst den Gradienten bilden und den Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x_0} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann bekommst du einen Vektor, der die Richtung des steilsten Anstieges angibt. Dieser Vektor ist dein Richtungsvektor für die Richtungsableitung. Eine Besonderheit noch: Der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ muss die (euklidische) Länge 1 haben, also ein Einheitsvektor sein. Ist er das nicht, musst du ihn normieren. Manche Profs lassen diese Bedingung weg (meiner damals nicht), also musst du schauen, wie das bei euch ist.

29.11.2009, 14:15

Galileo995703

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danke

...er hat die länge 1, hab alles soweit gemacht smile

super antwort smile

19.06.2012, 10:25

Bachi12

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Hallo Leute!

Ich habe hier auch ein Beispiel zu exakt dem Thema wo ich ein Problem habe.
Und zwar soll ich die Richtungsableitung von f(x,y)=ln(sqrt(x^2+y^2)) in einem Punkt (x0,y0)!=(0,0) in Richtung des Ursprungs berechnen.

Mein Problem liegt dabei, dass mir durch den "Zielpunkt" "Ursprung" (h=(0,0)?!) einges wegfällt, bzw. dann der Limes ins Unendliche abhaut - also wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \rightarrow 0}~\frac{f(x+t\vec{h}) - f(x)}{t} =: \frac{\partial f}{\partial \vec{h}}(x) \end{eqnarray*}$

Wenn dann

$\begin{eqnarray*} f(x+t\vec{h})=ln(\sqrt{(x_0+t \cdot h_1)^2+(y_0+t \cdot h_1)^2}) \end{eqnarray*}$
Zielpunkt=h=Ursprung=(0,0) einsetzen
$\begin{eqnarray*} f(x+t\vec{h})=ln(\sqrt{(x_0+t \cdot 0)^2+(y_0+t \cdot 0)^2})=ln(\sqrt{x_0^2+y_0^2}) \end{eqnarray*}$

Was dann weiter wieder eingesetzt in den Limes bedeutet

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \rightarrow 0}~\frac{ln(\sqrt{x_0^2+y_0^2})-ln(\sqrt{x_0^2+y_0^2})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}~\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Und das bringt mich ja nicht wirklich weiter.

Kann mir jemand einen Tipp liefern?

Danke im Vorhinein
LG

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