Konvergenz von Reihen

28.11.2009, 15:50

Sete

Konvergenz von Reihen

1. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

So also meine Frage ist wie beweise ich jetzt ob die Reihe konvergent oder divergent?

Eigentlich ist das doch nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{2k+1} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

ist ja die harmonische Reihe die ja bekanntlich divergiert. Die Reihe kovergiert ja durch das "+1" gegen eins, was mich verwirrt. Oder ist meine Denkweise hier falsch?
Also ich würde sagen die Reihe konvergiert gegen 1, also ist konvergent!?

/Edit: Blödsinn ist mir gerade selber aufgefallen das das +1 gar keinen großen unterschied macht, also würde ich sagen das die Reihe divergiert.

2.1. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Ist wiederum eigentlich nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{3}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Für k gegen unendlich konvergiert die Reihe doch gegen 3, also konvergiert auch?!

Ich hoffe ich habe hier nicht gegen Elementare Rechenregeln innerhalb von Reihen verstoßen und ich hoffe das mir hier irgendwer sagen kann ob die Vermutungen korrekt sind und falls nicht mich auf den richtigen Weg bringen kann.

Danke im vorraus.

28.11.2009, 15:58

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Zitat:

Original von Sete
1. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

[....]

Eigentlich ist das doch nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{2k+1} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Da liegst du daneben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1}\right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k(2k+1)} \end{eqnarray*}$ ist konvergent, übrigens mit Wert $\begin{eqnarray*} 1-\ln(2) \end{eqnarray*}$ . Deine mutmaßliche Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1}\right) \stackrel{?}{=} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} ~-~ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

ist unzulässig, da beide Reihen rechts divergieren.

28.11.2009, 15:59

sergej88

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Hallo.

Zur ersten Reihe.

Du siehst, ja schon richtig, dass hier die Harmonische Reihe benutzt wird. Nichts desto trotz würde ich dir hier raten erstmal beide Terme auf einen Bruch zu bringen. Anschliessend müsstest du mit dem Majorantenkriterium erfolg haben.

Wie du auf die Konvergenz von 1 kommst, weiss ich leider nicht.

Zur zweiten Reihe. Du hast die erstmal falsch Umgeformt.
Zum anderen Ist dieses eine Summe, wieso sollte diese gegen 3 Konvergieren???
Versuche hier ebenfalls diese geeignet nach unten abzuschätzen. Die Reihe sieht doch verdächtig nach der Harmonischen Reihe aus Augenzwinkern

mfg.

Edit. Ok war wohl zu langsam.

28.11.2009, 16:09

Sete

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Danke schonmal,

zu eins habe ich ja schon selber gemerkt das es Blödsinn war mit der konvergenz gen 1 Augenzwinkern

Majorantenkriterium hatten wir leider noch nicht, aber werde mich da gleich mal einlesen.

@Arthur Dent Von der Unzulässigkeit bzgl der Rechnung aufgrund der Rechtsdivergenz habe ich auch noch nie was gehört traurig

Ok dann schaue ich mal ob ich nen neuen Ansatz für 2. finde smile

28.11.2009, 16:14

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Zitat:

Original von Sete
@Arthur Dent Von der Unzulässigkeit bzgl der Rechnung aufgrund der Rechtsdivergenz habe ich auch noch nie was gehört

Doch, das hast du bestimmt: Du kennst ja die Summenregel für konvergente Reihen - die darfst du aber nicht einfach auf divergente Reihen erweitern. unglücklich

28.11.2009, 16:49

Sete

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So hoffe das der Ansatz diesmal richtig ist.

Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1} =\sum_{k=1}^\infty ~\frac{4k+1}{2k(2k+1)} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun für k=1 ein und geht die Reihe durch erhält man ja

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}+\frac{9}{20}+\frac{13}{42}... \end{eqnarray*}$

Die Reihe ist doch divergent da sie der hamomischen Reihe im Wachstum ähnelt und ich auch keine Beschränktheit nach oben beweisen kann. Ist das so korrekt?

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