Wie prüfe ich diese Abbildung auf Linearität?

28.11.2009, 16:24

Sunflower17

Wie prüfe ich diese Abbildung auf Linearität?

Hi,
ich habe hier eine richtig blöde Aufgabe, bei der ich nicht weiß wie man sie auf linearität prüfen kann.
$\begin{eqnarray*} F: \mathbb{R}^n \leftrightarrow \mathbb{R}^n,F(x_1,...,x_n):=(x_1- \overline x,...,x_1- \overline x)mit \overline x:= \sum_{k=1}^n x_i \end{eqnarray*}$

bin total verwirrt unglücklich

lG Sabrina

28.11.2009, 16:29

tigerbine

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RE: Wie Prüfe ich diese Abbildung auf linearität?
Eher so? Oder überall 1 im Index?

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x_1,...,x_n):=(x_1- \overline x,...,x_n- \overline x) \quad \text{mit} \quad \overline x:= \sum_{k=1}^n x_i \end{eqnarray*}$

Was sind die Eigenschaften einer linearen Abbildung?

28.11.2009, 16:41

Sunflower17

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RE: Wie Prüfe ich diese Abbildung auf linearität?

Zitat:

Original von tigerbine
Eher so? Oder überall 1 im Index?

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x_1,...,x_n):=(x_1- \overline x,...,x_n- \overline x) \quad \text{mit} \quad \overline x:= \sum_{k=1}^n x_i \end{eqnarray*}$

Was sind die Eigenschaften einer linearen Abbildung?

Oh ja, natürlich Big Laugh

so meinte ich das.

DIe Eigneschaften lauten doch wie folgt:
$\begin{eqnarray*} F((x_1 , y_1 )+(x_2 , y_2 ))=F( x_1 ,y_1 )+F( x_2 , y_2 ) \end{eqnarray*}$ für die Addition
$\begin{eqnarray*} F( \lambda x ) = \lambda F(x) \end{eqnarray*}$ für die Multiplikation

aber wie prüfe ich das ?

28.11.2009, 16:42

tigerbine

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RE: Wie Prüfe ich diese Abbildung auf linearität?
Durch nachrechnen, wie sonst?

28.11.2009, 17:55

Sunflower17

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...ich wei aber nicht wie ich die definition da einsetzen soll

28.11.2009, 17:57

tigerbine

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Was kommt denn beim Nullvektor raus?

Was passiert, wenn du ein Vielfaches eines Vektors einsetzt?

29.11.2009, 13:33

Sunflower17

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hey,
wenn ich den Nullvektor oder irgend ein Vielfaches z.b F(2,2,....2) einsetze kommt Null heruas. Aber was sagt mir das für die linearität? Okay, man hat uns gesagt, das man als ersten Test überprüfen soll, ob F(0)=0 ist. Aber was hat es mit F(x) auf sich?

lG Sabrina

30.11.2009, 09:24

tigerbine

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Naja, bei einer LinAbbildung muss F(0)=0 gelten

$\begin{eqnarray*} F(cx_1,...,cx_n):=(cx_1- \overline {cx},...,cx_n- \overline {cx}) = ... ? ... = c F(x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$

Die ..?... Schritte musst du schon selber machen. Augenzwinkern

30.11.2009, 16:31

Sunflower17

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okay, du hast anscheinend gleich die Prüfungen auf Abgeschlossenheit anscheinend gleichzeitig gemacht.
Ich habe diese nun getrennt gelöst. Allerdings bin ich auf die Definition des x-quer nicht weiter eingegangen. Ich hoffe das ist nicht entscheidend bei der linearität.

lG Sabrina

30.11.2009, 17:59

tigerbine

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Natürlich ist das entscheidend, wie das xquer definiert ist.

Du verwechselst UVR und Lineare Abbildung. Wir müssen homogen und additiv prüfen. Und ich habe für homogen angesetzt.

$\begin{eqnarray*} F(cx_1,...,cx_n):=(cx_1- \overline {cx},...,cx_n- \overline {cx}) = ... ? ... = c F(x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$

additiv ist

$\begin{eqnarray*} F(x_1+y_1,...,x_n+y_n):=(x_1+y_1- \overline {x+y},...,x_n+y_n- \overline {x_n+y_n}) = ... ? ... = F(x_1,...,x_n) + F(y_1,...,y_n) \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 18:14

Sunflower17

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ooops...dann muss ich das wohl noch korrigieren,
besten dank

lG Sabrina

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