Stammfunktion

08.10.2006, 01:32	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion Kennt vielleicht jemand die Stammfunktion zu: $\begin{eqnarray} \int_{2}^{4}~x^{\frac{lnx}{x}}~dx \end{eqnarray}$ Integrator gib mir kein Ergebnis und spontan fällt mir nichts ein .
08.10.2006, 08:49	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mit MuPad, Maple und Derive versucht. Alle Programme scheitern kläglich. Ich folgere daraus mal, dass dieses Integral verdammt heavy ist.
08.10.2006, 10:40	phoenix1729	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion Im Prinzip ist f(x)=x^((lnx)/x) ne e-Funktion: x^((lnx)/x)=exp(ln(x^((lnx)/x)))=exp((lnx)^2/x) Die e-Funktion reproduziert sich, d.h. die Stammfunktion F(x) hat die Form F(x) = g(x)exp((lnx)^2/x) Man braucht also g(x). Dafür hat man jetzt ne Differenzialgleichung, denn: d/dxF(x)=f(x) d/dx(g(x))exp((lnx)^2/x)+g(x)d/dx(exp((lnx)^2/x))=exp((lnx)^2/x) also lautet die Differentialgleichung für g g´+((2lnx-(lnx)^2)/x^2)g-1=0 Und um die zu lösen ist es noch eindeutig zu früh am Morgen ;-) Vielleicht befragt noch einer Maple, Mathematika dürfte aber eher zum Ziel führen...
08.10.2006, 12:46	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich behaupte mal, dass es keine analytische Funktion gibt, die die Eigenschaften von g(x) erfüllt... (ohne Gewähr)... Denn es gilt: $\begin{eqnarray} \int x^{\frac{\ln x}{x}}\dx=\int \mathrm e^{\frac{\ln^2x}{x}}\dx=x\mathrm e^{\frac{\ln^2x}{x}}+\int \mathrm e^{\frac{\ln^2x}{x}}\frac{(\ln x-2)\ln x}{x}\dx \end{eqnarray}$ Und es ist $\begin{eqnarray} \int \mathrm e^{\frac{\ln^2x}{x}}\frac{(\ln x-2)\ln x}{x}\dx = \mathrm e^{\frac{\ln^2x}{x}}\left(\frac{1}{3}\left(\ln x-3\right)\ln^2 x\right) +\int \mathrm e^{\frac{\ln^2x}{x}}\frac{(\ln x-2)\ln x}{x^2}\left(\frac{1}{3}\left(\ln x-3\right)\ln^2 x\right)\dx \end{eqnarray}$ Das wird ja immer schlimmer ... Ich finde nicht einmal eine geeignete Rekursionsform... ... Fürchterlich so eine Aufgabe.. Sollst Du das nicht einfach numerisch machen? (Grenzen)...
08.10.2006, 14:09	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerisch ist wohl keine schlechte Idee. Kennt ihr (Freeware-)Programme für die numerische Integration?
08.10.2006, 14:20	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht mit Pari-GP ganz gut. Schau' einfach in die Liste der Computer Algebra Systeme (CAS) bei wiki. Edit: Mit Mupad approximiert ergibt: numeric::int ( x^(ln(x)/x), x=2..4 ); 2,956405718
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08.10.2006, 14:29	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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