Identität mittels Integration

28.11.2009, 17:16

gonnabphd

Identität mittels Integration

Beweise die für alle reellen x gültige Identität

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~(1-x)^k = \sum_{v=1}^{n}~(-1)^{v-1}\begin{pmatrix} n \\ v \end{pmatrix}x^{v-1} \end{eqnarray*}$

und gewinne daraus durch Integration die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix}-+...+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Mittels Integration erhalte ich ja:

$\begin{eqnarray*} \int~\sum_{k=0}^{n-1}~(1-x)^k~dx=\sum_{k=0}^{n-1}~\frac{-(1-x)^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int~\sum_{v=1}^{n}~(-1)^{v-1}\begin{pmatrix} n \\ v \end{pmatrix}x^{v-1}~dx=\sum_{v=1}^{n}~(-1)^{v-1}\begin{pmatrix} n \\ v \end{pmatrix}\frac{x^{v}}{v} \end{eqnarray*}$

Dann müsste doch mit geeigneter Konstante C

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{n}~(-1)^{v-1}\begin{pmatrix} n \\ v \end{pmatrix}\frac{x^{v}}{v}=\sum_{k=0}^{n-1}~\frac{-(1-x)^{k+1}}{k+1}+C \end{eqnarray*}$

sein

Für x=0 ist die linke Summe =0, die rechte Seite jedoch je nach Wahl von n verschieden... Wie kann das sein?

29.11.2009, 06:36

gonnabphd

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Sieht keiner meinen Denkfehler? verwirrt

Bin echt ratlos..

29.11.2009, 10:22

Leopold

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Die Formel vom Eingang findest du mit Hilfe der Formel für die geometrische Summe mit anschließender Anwendung des binomischen Lehrsatzes. Danach mußt du auf beiden Seiten der Gleichung den Operator

$\begin{eqnarray*} \operatorname{I}(f) = \int_0^1 f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

anwenden. Also: bestimmte Integration, keine unbestimmte!

29.11.2009, 15:15

gonnabphd

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Vielen Dank, das macht natürlich Sinn!

Zitat:

Original von gonnabphd
Dann müsste doch mit geeigneter Konstante C

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{n}~(-1)^{v-1}\begin{pmatrix} n \\ v \end{pmatrix}\frac{x^{v}}{v}=\sum_{k=0}^{n-1}~\frac{-(1-x)^{k+1}}{k+1}+C \end{eqnarray*}$

sein

Ist obige Aussage denn falsch? Bzw. findet man immer ein C(n) s.d. sie gilt?

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