f auf Linearität, Surj., Inj. prüfen

28.11.2009, 20:57

IrMel

f auf Linearität, Surj., Inj. prüfen

Hallo,

Ich möchte folgende Funktion auf Linearität, Surjektivität und Injektivität prüfen:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2}-> \mathbb R^{2}, f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 3x+2y \\ 4x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe dann gezeigt, dass f ein Homomorphismus (also linear) ist:

1. Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} ) = f(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2) \\ 4(x_1+x_2)+(y_1+y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3x_1+2y_1)+(3x_2+2y_2) \\ (4x_1+y_1)+(4x_2+y_2) \end{pmatrix} = f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

2. Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) = f(\begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3 \lambda x + 2 \lambda y \\ 4 \lambda x + \lambda y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda ( 3x+2y) \\ \lambda (4x+y) \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 3x+2y \\ 4x+y \end{pmatrix} = \lambda f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Ist es bis hierhin korrekt?

Zur Injektivität/Surjektivität habe ich mir folgendes gedacht. Aus der Vorlesung geht ein Satz hervor:
$\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ , endlich dimensionale Vektorräume, wenn $\begin{eqnarray*} dim V = dim W \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f:V->W \end{eqnarray*}$ , dann sind äquivalent:
- Monomorphismus (Inj.)
- Epimorphismus (Surj.)
- Isomorphismus (Bij.)

Also habe ich mir gedacht, wenn eines nicht gilt, folgt daraus, dass die anderen beiden ebenfalls nicht gelten:

$\begin{eqnarray*} dim \mathbb R^{2} = 2 = dim \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ , ich darf den Satz also anwenden.
Surjektivität gilt nicht, weil $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein Urbild hat, also keine Surjektivität->keine Injektivität->keine Bijektivität.

Stimmt das?

28.11.2009, 21:36

MLRS

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RE: f auf Linearität, Surj., Inj. prüfen
Nur ein kurzes Kommentar:

Zitat:

Original von IrMel
Surjektivität gilt nicht, weil $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein Urbild hat, also keine Surjektivität->keine Injektivität->keine Bijektivität.

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix}-\frac 1 5 \\ \frac 4 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Linearität sieht gut aus

28.11.2009, 21:49

IrMel

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Oh sitmmt, hmm. Vielleicht ist die Abbildung doch injektiv.

hmm, okay, dann schau ich mir das morgen nochmal an.

30.11.2009, 19:31

IrMel

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So, da bin ich wieder.

Ich habe die Aufgabe nochmal überdacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

Die Abbildung ist injektiv.

Ich wähle $\begin{eqnarray*} x_1,y_1,x_2,y_2 \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ beliebig und nehme an, dass $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} )= f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ gilt. Also muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1=y_2 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3x_1+2y_1 \\ 4x_1+y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_2+2y_2 \\ 4x_2+y_2 \end{pmatrix} \rightarrow 3x_1+2y_1 = 3x_2+2y_2, 4x_1+y_1=4x_2+y_2 \rightarrow y_2=4x_1+y_1-4x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3x_2+2(4x_1+y_1-4x_2)=-5x_2+8x_1+2y_1=3x_1+2y_1 \rightarrow x_2=x_1 \end{eqnarray*}$ , oben eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} y_2=4x_1+y_1-4x_1=y_1 \end{eqnarray*}$

Also ist die Abbildung Injektiv, da die dimV=dimW folgt daraus die Surjektivität und f ist folglich ein Isomorphismus. Stimmt das?

Und ich hätte noch eine Frage. In einem anderen Thread habe ich gelesen "Wenn die Funktionen linear sind, reicht es zu zeigen, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht. Daraus folgt dann die Injektivität und durch die Endlichdimensionalität auch die Surjektivität." Wie berechne ich denn den Kern? Einfach f(x,y) = (0,0) setzen und auflösen? Wenn man nur ein Ergebnis hat (nämlich (0,0)), dann ist der Homomorphismus ein Isomorphismus? Kann ich das bei jeder linearen Abbildung machen?

30.11.2009, 20:35

Manus

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Rechnung sollte so stimmen.

Und ja: Bei linearen Abbildungen gilt stets:

Kern(f)={0} <=> f ist injektiv.

Das kannst du dir sogar relativ leicht selbst herleiten.

Die Surjektivität der Funktion folgt dann aber natürlich nur dann, wenn die Dimension von Ausgangs- und Zielraum übereinstimmen. (Im unendlich Dimensionalen, gibt dir die Injektivität daher leider keine Aussage über die Surjektivität)

02.12.2009, 16:38

IrMel

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Ich bin's nochmal =) hoffe, das ist nun die letzte Frage bzgl. dieses Themas:

ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{3}->\mathbb R^{2}: \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}-> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end {pmatrix}*\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die habe ich dann weiter umgeformt: $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end {pmatrix}*\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -5 \end {pmatrix}*\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x +2z \\ y-5z \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Injektivität habe ich schon gezeigt, dass sie nicht gilt. Zur Surjektivität bin ich dann soweit gekommen:
Ich nehme ein $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x +2z \\ y-5z \end {pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -5&b \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also habe ich argumentiert, dass der Rang Ax = Rang Ax|b gilt und weil es mehr Variablen gibt als Gleichungen, gibt es mindestens eine Lösung sodass (a,b) abgebildet wird. Also ist f surjektiv.
Kann ich das so begründen?

02.12.2009, 21:50

IrMel

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ein kleines richtig oder falsch wäre hilfreich =) dann weiß ich, ob ich das verstanden habe.

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