Integral - Kugelkoordinaten

28.11.2009, 23:21	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral - Kugelkoordinaten Hallo! Folgendes Bsp: Berechnen Sie den Volumsinhalt des Körpers, der von der Fläche $\begin{eqnarray} (x^2+y^2+z^2)^2=z^3 \end{eqnarray}$ eingeschlossen wird. Ich habe den Körper skizziert und in Kugelkoordinaten transformiert: $\begin{eqnarray} x=r \sin \theta \cos \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=r \sin \theta \sin \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z= r \cos \theta \end{eqnarray}$ Damit komme ich auf die Gleichung $\begin{eqnarray} r^4 = r^3 \cos^3(\theta) \end{eqnarray}$ Woraus folgt: $\begin{eqnarray} r = \cos^3(\theta) \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} r, \phi \end{eqnarray}$ -Grenzen sind klar: $\begin{eqnarray} 0 \leq \phi \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq cos^3(\theta) \end{eqnarray}$ Bei der $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Grenzen habe ich jetzt das Problem: Der Winkel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ läuft doch von $\begin{eqnarray} -\frac {2}{\pi} \leq \theta \leq \frac {2}{\pi} \end{eqnarray}$ , weil damit $\begin{eqnarray} \cos^3(\theta) \geq 0 \end{eqnarray}$ ist. Doch wenn ich das Mehrfachintegral inkl. Jacobideterminante $\begin{eqnarray} r^2 \sin \theta \end{eqnarray}$ lösen will (mit Maple überprüft), dann erhalte ich das Ergebnis 0. Wo liegt der Fehler?
29.11.2009, 09:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Kugelkoordinaten Bei Kugelkoordinaten gibt es unterschiedliche Konventionen bezüglich des Winkels $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ . Bei deinen Transformationsgleichungen, die der wohl gebräuchlichsten Konvention entsprechen, gilt $\begin{eqnarray} \theta \in [0, \pi] \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \theta \in [-\pi/2, \pi /2] \end{eqnarray}$ . Sonst könnte ja z nicht negativ werden. Bei dieser Konvention ergibt $\begin{eqnarray} \theta = 0 \end{eqnarray}$ die positive z-Achse und $\begin{eqnarray} \theta= \pi \end{eqnarray}$ die negative z-Achse. Bei der gegebenen Fläche kann z tatsächlich nicht negativ werden. Das schränkt dann $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ein auf $\begin{eqnarray} \theta \in [0, \pi /2] \end{eqnarray}$ .
29.11.2009, 11:16	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Kugelkoordinaten Vielen Dank! Dass es da verschieden Konventionen gibt, hab ich nicht gewusst. Damit ist mir alles klar. Mein Ergebnis (auch mit Maple überprüft): $\begin{eqnarray} V= \frac{\pi}{15} \end{eqnarray}$

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