Zusammenhang Injektivität und Kardinalität der Mengen |
| 29.11.2009, 11:24 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zusammenhang Injektivität und Kardinalität der Mengen Wäre nett,wenn mir jemand von euch bei meinem Problem helfen könnte! Ich muss folgendes beweisen: Vorraussetzung: f:A->B ist injektiv daraus folg: Die Anzahl der Elemente in A (#A) ist kleiner gleich der Anzahl der Elemente in B (#B). Nun mein Problem: Finde,dass das ziemlich logisch (trivial) ist und ich weiß nicht,wie ich das formal beweisen soll?! Hat jemand nen Tip,wie ich das angehen kann? Lg, Lintu |
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| 29.11.2009, 11:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal reden wir von endlichen Mengen, sonst macht der Begriff "Anzahl" keinen Sinn. Warum du etwas ohne Beweis "logisch" findest, verstehe ich nicht. Wie funktioniert deine "Logik" ? Tipp für den Beweis: Wieviele Elemente hat das Bild von f, und wo liegt das Bild von f ? |
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| 29.11.2009, 12:42 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Finde das auf Grund der Definition von injektiv logisch. Wenn man sich das einfach mal bildlich vor Augen führt ist es doch logisch, dass wenn ich jedem Element höchstens ein Element von B zuweise muss B doch dann genauso groß oder größer sein als A. Sonst würde ich doch einem Element aus B zwei Werte aus A zuweisen müssen, was der Definition von injektiv widerspricht. mhhh...das mit dem Bild und so hab ich irgendwie noch nicht so ganz verstanden.. 
Könntest du mir da vielleicht ein wenig auf die Sprünge helfen? Hab die Definition für Bild von X unter f vor mir liegen, aber ich verstehe nicht,wieso wir auf einmal mit einer Teilmenge von A arbeiten...was bringt mir das? Schon mal vielen Dank für deine Antwort!!!! |
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| 29.11.2009, 12:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teilmenge von B ! |
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| 29.11.2009, 13:10 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Bild enthält doch dann für jeden Wert aus A genau ein Element aus B,oder? |
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| 29.11.2009, 17:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau. |
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| 29.11.2009, 18:12 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wo liegt mein Bild von f? Bzw. was meinst du damit? |
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| 29.11.2009, 18:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das muß nicht zwingend so sein. Man kann ja durchaus auch die Kardinalitäten unendlicher Mengen miteinander vergleichen. Lintu sollte also sagen, ob es wirklich um endliche Mengen geht. |
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| 29.11.2009, 18:18 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, es geht um endliche Mengen. Hatte ich im Eingangspost nur vergessen zu sagen. Sorry für die Verwirrung! |
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| 29.11.2009, 18:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Lintu warum fragst du " wo liegt f(A)=Bild von f ", du hast doch selbst gesagt, dass es Elemente aus B enthält. @Leopold ja, ich wollte mit der (unnötigen) Einschränkung auf endliche Mengen Lintu provozieren, etwas zu den Begriffen "Kardinalität" und "Anzahl" in seiner Aufgabenstellung zu sagen. |
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| 30.11.2009, 19:19 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Elvis Die Provokation hab ich leider nicht bemerkt 
Und ich bin ne frau
also ihre Aufgabenstellung@All Komme leider immer noch nicht drauf wie ich das jetzt beweisen soll
Inwiefern bringt mir das Bild von f denn jetzt etwas? *keine Ahnung hab* |
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| 01.12.2009, 17:46 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So. Für Injektivität hab ich es jetzt geschafft. Jetzt muss ich beweisen, dass aus #A>=#B folgt, dass f:A-->B surjektiv ist. (es geht immer noch um endliche Mengen) Habe mir jetzt mal überlegt, dass A:= {1,2,3,4} ist und B:={1,2}....was hindert mich denn jetzt daran, alle Elemente aus A der 1 zuzuweisen?! Weil dann wäre es ja nicht mehr surjektiv,weil die 2 nicht getroffen wird. Wäre über jede Hilfe dankbar! |
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| 01.12.2009, 19:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, injektiv hast du geschafft. Ich hätte so argumentiert: injektiv ; ; also gilt Dein Gegenbeispiel für die andere Behauptung ist korrekt, also ist diese Behauptung falsch. Man kann zeigen: mit surjektiv. |
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| 01.12.2009, 23:21 | Lintu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super 
Genauso habe ich bei injektiv argumentiert *freu* Hat ja auch nur ca. 3 Tage gedauert bis ich drauf gekommen bin
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