Extremalproblem

29.11.2009, 11:46

p_ocean

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Extremalproblem

Hallo zusammen,

wir beschäftigen uns in der schule mit extremalprobleme und bräuchte ein wenig hilfe....

AUFGABE: aus vier 2m langen zeltstangen soll ein zelt mit quadratischer grundfläche so gebaut werden, dass das volumen möglichst groß ist. bestimme die abmessungen des zeltes. Folgende Überlegung hatte ich.............

es handelt sich um eine pyramide mit quadratischer grundfläche,also:

1.extremalbedingung:
V= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*a^2*h \end{eqnarray*}$

2.nebenbedingung(hier bin ich mir nicht sicher):
$\begin{eqnarray*} b^2=h^2+(\frac{a*\sqrt{2}}{2})^2 \end{eqnarray*}$
nun stelle ich nach h um und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-\frac{a^2}{2}}=h \end{eqnarray*}$

3. Zielfunktion:
nun fasse ich zusammen: V= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*a^2*\sqrt{4-\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$
-> V = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*a^2-\frac{a^3}{3*\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

4. Extremwerte:
jetzt weiß ich nicht weiter ,weil ich nicht weiß wie die ableitung von der
zielfunktion geht........
ich dachte es wäre vllt: $\begin{eqnarray*} V'= \frac{4}{3}*a-\frac{1}{6}*\frac{2*a^2}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

ist die ableitung überhaupt richtig?
wenn ja, wie wäre die 2. ableitung davon und was bedeutet es , wenn ich bei der hinreichenden bedingung KEIN maximum oder (minimum) bekomme, sondern 0?? verwirrt

verwirrt

29.11.2009, 11:57

klarsoweit

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RE: Extremalproblem

Zitat:

Original von p_ocean
-> V = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*a^2-\frac{a^3}{3*\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Kannst du mal verraten, wie du darauf gekommen bist? verwirrt

verwirrt

Ansonsten war alles bis dahin richtig.

Und unterlasse bitte Hilfeschreie im Titel oder sonst wo. Hilfe suchen hier alle.

edit: Stimmt, und deswegen habe ich die Hilferufe aus dem Titel entfernt.
LG sulo

29.11.2009, 12:06

p_ocean

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nun fasse ich zusammen:
V= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*a^2*\sqrt{4-\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$

V= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*a^2*(2-\frac{a}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$ hier hab ich die wurzel gezogen

V= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*a^2*-\frac{a^3}{3*\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ hier hab ich ausmultipliziert

richtig so?

29.11.2009, 12:08

Egal

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Wie war das doch gleich mit Wurzeln aus Differenzen und Summen?

29.11.2009, 12:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von p_ocean
hier hab ich die wurzel gezogen

Sowas Übles hatte ich mit schon gedacht. unglücklich

unglücklich

Kleiner Test: $\begin{eqnarray*} 3 = \sqrt 9 = \sqrt{25-16} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 \end{eqnarray*}$

Also an deiner Regel scheint irgendwas nicht zu stimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2009, 12:44

p_ocean

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geschockt

upps......

erstmal danke für das finden des fehlers....ich glaub ich wär alleine niemals drauf gekommen.

nun zur aufgabe:

V= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*a^2*\sqrt{4-\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$ das ist meine zielfunktion.

könnte man die jetzt weiter vereinfachen? wie ist das denn bei wurzeln von summen und differenzen? (nur nebenei)

wenn keine vereinfachung möglich ist hätte ich weiter gemacht mit...

4. Extremwerte
V'= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*a^2*(4-\frac{a^2}{2})-^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

V'= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*a(-\frac{1}{2}*(4-\frac{a^2}{2})-^\frac{3}{2}*(-a)) \end{eqnarray*}$
äußere*innere ableitung

V'= $\begin{eqnarray*} \frac{2*a^2}{6*sqrt{(4-\frac{a^2}{2})^3}} \end{eqnarray*}$

richtig so?

wie wäre dann V''(2.ableitung)?

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29.11.2009, 13:40

sulo

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Warum eigentlich hast du die Aufgabe dermaßen kompliziert angegangen?

Es ist klar, dass mit Hilfe des Pythagoras substituiert werden muss. Warum wählst du dir aber das h, wodurch du zwangläufig eine Wurzel in die Volumengleichung kriegst und Probleme mit den Ableitungen bekommst? verwirrt

verwirrt

Viel einfacher ist es doch, das a^2 zu ersetzen:

$\begin{eqnarray*} b^2=h^2+(\frac{a*\sqrt{2}}{2})^2 \end{eqnarray*}$ , also: $\begin{eqnarray*} 4-h^2=\frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

Und: $\begin{eqnarray*} 8-2h^2=a^2 \end{eqnarray*}$

Das jetzt in die Volumengleichung eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}\cdot (8-2h^2)\cdot h \end{eqnarray*}$

Sieht das nicht wesentlich sympathischer aus als dein Ungetüm? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2009, 15:40

p_ocean

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vielen dank sulo......
das ist natürlich einfacher......könntest du mir vllt trotzdem noch sagen was die 1. ableitung deiner volumengleichung ist verwirrt

verwirrt

bevor ich wieder einen fehler mache)

danke im voraus Freude

Freude

EDIT: wäre es dann als 1 .ableitung: V'= $\begin{eqnarray*} -2h^2+\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

29.11.2009, 15:43

sulo

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Biete mir eine mögliche Lösung an und ich nehme Stellung dazu smile

smile

edit: Du solltest natürlich zuerst noch die Klammer auflösen, bevor es ans Ableiten geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2009, 15:53

p_ocean

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wäre es dann als 1 .ableitung: V'= $\begin{eqnarray*} -2h^2+\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ ?

und 2. ableitung wäre: V''= $\begin{eqnarray*} -4h \end{eqnarray*}$

nun muss ich mit den beiden ableitungen das maximum herausfinden( durch notwendige und hinreichende bedingung) und dann hätte ich die höhe oder?

29.11.2009, 15:59

sulo

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Die Ableitungen stimmen Freude

Freude

Und deine Gedanken zur weiteren Rechnung stimmen auch. Freude

Freude

29.11.2009, 16:18

p_ocean

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Vielen dank an alle die mich unterstützt haben! smile

smile

29.11.2009, 16:25

sulo

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Wie groß ist denn nun das maximale Volumen? verwirrt

verwirrt

29.11.2009, 16:42

p_ocean

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die höhe des zeltes (pyramide) beträgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ m.
grundseite a = 3,77 (auf-bzw.abgerundet)

und das Volumen beträgt V= 5,47....kubikmeter (maximal)

EDIT:
eine frage hätte ich aber noch:
wenn die aufgabe gewesen wär das minimale volumen zu ermitteln dann würde man doch eig. auf das selbe ergebnis kommen nur mit dem unterschied das die höhe $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ m(<- ist das möglich) beträgt,oder?

29.11.2009, 16:48

sulo

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Die Höhe des Zeltes habe ich auch so errechnet. Freude

Freude

Für die Grundseite habe ich jedoch etwas anderes heraus, entsprechend dann auch für das Volumen.... verwirrt

verwirrt

Ich habe ein wenig herumgerechnet, kann aber dein Ergebnis für a leider nicht nachvollziehen...

29.11.2009, 16:56

p_ocean

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die höhe beträgt h= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ m

ich dachte mir ich setz in die formel ein:
$\begin{eqnarray*} b^2= h^2+\frac{a*\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4= \frac{4}{3}+\frac{a*\sqrt{2}}{2} | -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} = \frac{a*\sqrt{2}}{2} |*2 |/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

a= 3,77....m

29.11.2009, 17:02

sulo

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Zitat:

Original von p_ocean
ich dachte mir ich setz in die formel ein:
$\begin{eqnarray*} b^2= h^2+\frac{a*\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Du hast die Formel leider nicht richtig wiedergegeben:

$\begin{eqnarray*} b^2=h^2+(\frac{a*\sqrt{2}}{2})^2 = h^2+\frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

So muss sie lauten... smile

smile

29.11.2009, 17:09

p_ocean

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Das gibts doch nicht ....... Hammer

Hammer

ich hab das quadrat vergessen....was für ein schussel fehler

also a= 2,31m
V= 2,06 kubikmeter

so jetzt müsste es stimmen....wär auch peinlich wenns nicht so wär.
ich hoffe nicht

eine frage hätte ich aber noch:
wenn die aufgabe gewesen wär das minimale volumen zu ermitteln dann würde man doch eig. auf das selbe ergebnis kommen nur mit dem unterschied das die höhe $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ m(<- ist das möglich) beträgt,oder?

29.11.2009, 17:23

sulo

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Zunächst: Ja, nun stimmt alles Freude

Freude

Zum minimalen Volumen:
Das erhältst du natürlich wenn du:
- entweder die Stangen flach auf den boden legst (h = 0, also V = 0), oder
- die Stangen direkt aneinander stellst (a = 0, also wieder V = 0)

LG sulo Wink

Wink

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