Aufgabe zu Reihen

29.11.2009, 11:51	Sarah122	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Reihen Guten Morgen zusammen! Ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe: Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray}$ eine konvergente Reihe. Zeigen Sie: 1. Für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} A_n := \sum_{k=n}^\infty a_k \end{eqnarray}$ eine konvergente Reihe und es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}A_n = 0 \end{eqnarray}$ . 2. Sind alle $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ positiv, so gibt es monoton wachsende Folge $\begin{eqnarray} (b_k) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_k \to \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \to \infty \end{eqnarray}$ , für welche $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty a_kb_k \end{eqnarray}$ immer noch konvergiert. Zu 1. Das ganze erinnert ja stark an das Cauchy-Kriterium. Ich hab schon versucht das ganze über Partialsummen zu beweisen, komme da aber irgendwie nicht weiter. Zu 2. Hier hab ich noch nicht wirklich einen Ansatz. Irgendwie muss man ja so eine monoton steigende Folge konstruieren und wahrscheinlich muss man dazu auch die Ergebnisse aus 1. benutzen, aber ich hab noch keine Idee wie. Schonmal Danke für eure Hilfe!
29.11.2009, 12:16	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1 mal ein bisschen Logik. Wenn $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}a_k \end{eqnarray}$ konvergent ist und man dann endlich viele Glieder weg nimmt ( deren Summe muss ohnehin endlich sein) Dann erniedrige bzw erhöhe ich den Wert der Summe doch nur um den endlichen Wert der Zahlen die ich grade weggenommen habe. Für das andere habe ich einen Satz im Kopf der sagst das $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ Nullfolge sein muss, wenn die zugehörige Reihe konvergent ist.
29.11.2009, 12:43	Sarah122	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön für die schnelle Antwort ! Also könnte ich 1 formal so aufschreiben?: Sei a der Grenzwert der konvergenzen Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} A_n &=& \sum_{k=1}^\infty a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \\ &=& a - \sum_{k=1}^{n-1} a_k. \end{eqnarray}$ und damit für den Grenzwert von $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} A_n &=& \lim_{n \to \infty} a - \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} a_k \\ &=& a - a = 0 \end{eqnarray}$ . Zu 2. Ich weiß auf jeden Fall, dass $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist und damit die Reihe über $\begin{eqnarray} a_kb_k \end{eqnarray}$ konvergiert, muss $\begin{eqnarray} a_kb_k \end{eqnarray}$ notwendig auch eine Nullfolge sein. Ich muss also zeigen, dass es eine monoton wachsende undbeschränkte Folge $\begin{eqnarray} (b_k) \end{eqnarray}$ gibt, sodass das Produkt von $\begin{eqnarray} (a_k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_k) \end{eqnarray}$ immer noch eine Nullfolge ist. Wenn ich eine solche Folge $\begin{eqnarray} (b_k) \end{eqnarray}$ gefunden habe, dann konvergiert die Reihe über $\begin{eqnarray} a_kb_k \end{eqnarray}$ ja noch nicht zwangsläufig. Ich muss also dann noch mit einem Konvergenzkriterium für Reihen zeigen, dass mit der konstruierten Nullfolge $\begin{eqnarray} a_kb_k \end{eqnarray}$ die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty a_kb_k \end{eqnarray}$ konvergiert. Mein Problem ist jetzt, dass ich keinen Ansatz habe, wie ich die Existenz einer solchen Folge $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ zeigen kann. S

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