Folge,Vektorraum, dimension,basis

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29.11.2009, 12:23	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge,Vektorraum, dimension,basis Hallo Ich bin schon wieder: Auch bei folgender Aufgabe fehlen mir die Ansätze: Es sei $\begin{eqnarray} V=((a_n)_{n\in \mathbb N_0}: a_{n+2} + 2a_{n+1} + a_n=0, a_i \in \mathbb R \forall i \in \mathbb N_0) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ - Vektorraum. a)Zeigen Sie, dass V ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ - Vektorraum ist. b)Bestimmen Sie die Dimension von V. c) Finden Sie ein p, sodass $\begin{eqnarray} (a_n:p^n)_{n \in \mathbb N_0} \in V \end{eqnarray}$ und ergänzen Sie anschließend zu einer Basis von V. Bei a) muss man ja die Vektorraumaxiome nachweisen. Mein Problem ist wie ich hier z.B. die Assoziativität nachweise. Was ist hier eine Verknüpfung? bei b) Ich denke, dass die Dimension 2 ist, da man a0 und a1 braucht um die folgeglieder zu bestimmen bei c) keine ahnung...
29.11.2009, 12:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Verknüpfung wird wohl komponentenweise Addition sein, V ist ein UVR des VR der reellen Folgen. b) sieht gut aus c) Naja untersuche halt mal die Nullstellen des Polynoms p^2 + 2p + 1
29.11.2009, 12:33	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a) verstehe ich nicht, was ist komponentenweise Addition?
29.11.2009, 12:52	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N} + (b_n)_{n\in \mathbb N} = (a_n+b_n)_{n\in \mathbb N} = (c_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_n = a_n + b_n \end{eqnarray}$
29.11.2009, 15:16	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, wie beweise ich denn z.B nun die Assoziativität von (V,+)?
29.11.2009, 15:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist reines ausschreiben der Definition unter Nutzung der Assoziativität der reellen Zahlen. Schreib einfach hin was du zeigen musst und benutze die Definition der Addition und du bist schon fertig mit dem Beweis
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29.11.2009, 15:22	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielleicht bin ich zu blöd, aber was sind denn überhaupt die Elemente von V, Folgen? oder die Folgeglieder von an? Ich weiß nicht wie ich das überhaupt anfangen soll,...
29.11.2009, 15:50	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich schätze, die element von V sind folgen,die die obige bedingung erfüllen, wie kann ich nun aber z.B. die assoziativität der Addition beweisen, ich habe echt gar keine ahnung, bin gerade am verzweifeln...
29.11.2009, 16:54	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das für die Assoziativität so richtig: $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N_0}+ [(b_n)_{n\in \mathbb N_0} + (c_n)_{n\in \mathbb N_0} ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a_n + (b_n + c_n) \forall n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_i,b_i,c_i \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (a_n + b_n) + c_n) \forall n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =[(a_n)_{n\in \mathbb N_0} + (b_n)_{n\in \mathbb N_0}] + (c_n)_{n\in \mathbb N_0)} \end{eqnarray}$
29.11.2009, 17:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis stimmt so nicht, du gehst aus irgendeinem Grund von Folgen über zu den einzelnen Werten die Folge. Gehe einmal nur streng nach Definition vor. Das ist ein reines Ersetzen der Zeichen ohne Denkarbeit
29.11.2009, 17:09	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
aber was soll ich denn einsetzen ???? ich weiß einfach nicht weiter....ich stehe auf dem Schlauch
29.11.2009, 17:21	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition der Addition. Die erste Zeile bei dir hat noch gestimmt. Die Definition habe ich dir oben gegeben
29.11.2009, 17:27	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so: $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N_0}+ [(b_n)_{n\in \mathbb N_0} + (c_n)_{n\in \mathbb N_0} ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a_n)_{n\in \mathbb N_0}+ (b_n+c_n)_{n\in \mathbb N_0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a_n + (b_n + c_n))_{n\in \mathbb N_0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =((a_n + b_n) + c_n)_{n\in \mathbb N_0} \end{eqnarray}$ , da in Reellen Zahlen die Assoziativität der reelen Zahlen gilt, und dann wieder rückwärts gehen, um in die Schreibweise von oben zu kommen oder?
29.11.2009, 17:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
29.11.2009, 17:33	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke, b und c habe ich schon hingekriegt, das hatte wir so ähnlich in der großen Übung, dann versuche ich mich mal an den rest für a!

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