Lineare Hülle

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29.11.2009, 11:39	pef	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Hülle Hätte folgende Aufgabe zu lösen und komm da irgendiwe nicht weiter. Zeigen Sie: Es gilt L(v1,...,vn,w) = L(v1,...,vn) genau dann, wenn w Element aus L(v1,...,vn)
29.11.2009, 11:49	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo genau kommst du denn nicht weiter? Welche der beiden Richtungen hast du denn schon versucht? Wie ist die Definition der Linearen Hülle? Was heißt es dass w aus L(v1,..,vn) ist?
29.11.2009, 13:22	Smaartis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich habe die selbe Aufgabe zu lösen! Bin mir aber bei meinem Ergebnis sehr unsicher... Ich hab's so probiert: zuerst einmal diese Implikation: Zz. $\begin{eqnarray} L(v_1,...,v_n,w) = L(v_1,...,v_n)=> w \in L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ Wenn der erste Teil der Implikation wahr ist, was ich annehme, dann muss doch w eine Linearkombination der Vektoren v1,...,vn sein. Somit ist $\begin{eqnarray} w=\sum_{i=1}^n~\lambda_iv_i \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Somit wäre doch schon mal gezeigt, dass $\begin{eqnarray} w \in L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ ist. bei der Zweiten Implikation: z.z. $\begin{eqnarray} w \in L(v_1,...,v_n)=> L(v_1,...,v_n,w) = L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ Wieder nehme ich an, dass der erste Teil wahr ist. Wenn w in $\begin{eqnarray} L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ , so kann ich das doch auch so anschreiben: $\begin{eqnarray} L(v_1,...,w,...v_n) \end{eqnarray}$ . Somit ist die zweite Implikation trivial, weil sie sich unmittelbar aus der Annahme ergibt. Kann ich das so sagen, oder ist das zu ungenau?
29.11.2009, 13:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nichts falsch, die Begründung ist mir allerdings zu ungenau. Versuche das ganze noch genauer auszuformulieren, benutze insbesondere die Definition der linearen Hülle
29.11.2009, 17:07	Smaartis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition ist: $\begin{eqnarray} L(v_1, ..., v_n) \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} {\sum_{i=1}^n~{\lambda_iv_i} \| \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb R } \end{eqnarray}$ Somit hätte ich dann: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\lambda_iv_iw = \sum_{i=1}^n~\lambda_iv_i \end{eqnarray}$ w kann ich aus der Summe herausheben, weil es mit dem Laufindex nichts zu tun hat, dann dividier ich durch die Summe und erhalten für: w=1 Ich weiß aber nicht, was das jetzt konkret heißt. Kann ich das eig. so machen?
29.11.2009, 17:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum multiplizierst und dividierst du hier wild mit Vektoren?!
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29.11.2009, 18:02	Smaartis	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... stimmt meine ausgangssituation überhaupt? $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\lambda_iv_iw = \sum_{i=1}^n~\lambda_iv_i \end{eqnarray}$ Dann müsste das doch eher das hier heißen, oder? $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~(\lambda_iv_i)+ w = \sum_{i=1}^n~\lambda_iv_i \end{eqnarray}$ Ich steh grad voll an. Das müsste doch heißen w ist der Nullvektor, oder? Wenn w der Nullvektor ist, dann müsste er doch in $\begin{eqnarray} L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ liegen. Oder lieg ich schon wieder daneben?
29.11.2009, 18:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein die Ausgangssituation stimmt nicht. Ich hab doch gesagt: Eine Multiplikation von Vektoren gibt es nicht. Nehmen wir einmal die Gleichheit $\begin{eqnarray} L(v_1,..,v_n,w) = L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ an. Das heißt doch dass jede Summe $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i + \lambda w \end{eqnarray}$ darstellbar ist als $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \mu_i v_i \end{eqnarray}$ . Leite daraus eine Linearkombination aus den v_i für w her
29.11.2009, 18:39	Smaartis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist w eine Linearkombination aus den Vektoren der linearen Hülle w= $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{(\mu_i - \lambda_i)}{\lambda} v_i \end{eqnarray}$ . Bin ich dann mit dieser Implikation fertig "=>"? Die zweite Implikation ist nach meinem Verständnis trivial. Oder muss ich da auch noch was ändern?
29.11.2009, 18:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Da meines Erachtens beide Richtungen trivial sind solltest du die zweite Richtung auch noch ausführen
29.11.2009, 18:53	Smaartis	Auf diesen Beitrag antworten »
ok
29.11.2009, 19:47	Smaartis	Auf diesen Beitrag antworten »
z.z. $\begin{eqnarray} w \in L(v_1,...,v_n)=> L(v_1,...,v_n,w) = L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ Def.: $\begin{eqnarray} L(v_1, ..., v_n) \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} {\sum_{i=1}^n~{\lambda_iv_i} \| \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb R } \end{eqnarray}$ Wenn ich davon ausgehe, dass w eine Element dieser linearen Hülle ist, so lässt sich w doch durch w= $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\lambda_iv_i \end{eqnarray}$ ausdrücken. Dieser Linearkombination kann ich in der linearen Hülle genau einem Platz zuordnen, nämlich $\begin{eqnarray} w=v_j \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} L(v_1,...,v_{j-1},w,v_{j+1},...,v_n) \end{eqnarray}$ Somit wäre $\begin{eqnarray} L(v_1,...,v_n,w) = L(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ . Kommt das hin?

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