Log / e Funktion

08.10.2006, 11:30	FlowerPower	Auf diesen Beitrag antworten »
Log / e Funktion Kann mir einer Erklären warum ln e^x = x ist. mein Versuch: log e e^x: e^a = e^x ? Kein Plan wies weiter gehen soll. Klar die Logarithmusf. ist die Umkehrfunk. doch wie geht das mathematisch? Warum ist die Ableitung des Log lnx; 1/x? mathematisch?
08.10.2006, 11:58	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du das zeigen kannst hängt ganz von eurer Definition der e-Funktion ab. Hier sind einige verbreitete Möglichkeiten.
08.10.2006, 12:00	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein gilt für eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und deren Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray}$ Oder konkret: $\begin{eqnarray} \exp(\ln x)=\ln(\exp x)=x\ln\mathrm e=x\cdot 1=x \end{eqnarray}$ Zur Ableitung: Es sei vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray} (\exp x)'=\exp x \end{eqnarray}$ Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion: $\begin{eqnarray} f^{-1'}(y)=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray}$ Konkret: y=exp(x), x=ln y $\begin{eqnarray} (\ln y)'=\frac{1}{(\exp x)'}=\frac{1}{\exp x}=\frac{1}{\exp(\ln y)}=\frac{1}{y}\Longrightarrow (\ln x)'=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ EDIT: 1. zu spät... 2. Es hängt natürlich stark von den Voraussetzungen ab.

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